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1、等腰三角形(复习教案）介休市义安二中武秋梅教学目标知识与技能目标建立知识框架结构图，了解掌握等腰三角形知识。复习等腰三角形有关定理的探索与证明，证明的思路和方法。能利用等腰三角形的有关定理，证明线段相等、角相等及直线垂直等。过程方法通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。情感态度价值观进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。教学重点：等腰三角形定理的应用。教学难点：证明的思路和方法。教学流程本章知识结构二。典型例题【例1】如图所示，ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求B的度数。A CB
2、 D 思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解：AB=CD（已知）B=C（等边对等角）同理：B=BAD，CAD=CDA设B为X0，则C=X0，BAD=X0ADC=2X0，CAD=2X0在ADC中，C+CAD+ADC=1800X+2X+2X=180X=36答：B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。练习1：如图所示，在ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若C=290，则A=_ABDC123A练习2：如图在ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=
3、AD,求ABC各角的度数？BDC【例2】如图所示，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC。求证：AOBC思路点拨：要证AOBC，即证AO COBAD是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角的平分线即可。证明：延长AO交BC于D AB=AC（已知）在ABO和ACO中OB=OC（已知） AO=AO（公共边）ABOACO（SSS）BAO=CAO即BAD=CAD（全等三角形的对应角相等）ADBC，即AOBC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。A练习：如图所示，点D、E在ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE求证：BD=
4、CECEDB【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。如图，在ABC中，AB=AC，P是BC边上任一点，过点P作PMAB于M，PN AC于N，作BEAC于E。BCPMENQA残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。求证：PM+PN=BE 证明：作PQBE于QBE AC，PNAC，BE PNPQ BE，ACBE PQ NE。，QE=PN。AB=ACABC=CPQ ACQPB=CABC=QPB又PMB=BQP=900 BP=PB，PMBBQ
5、P（AAS）PM=BQPM+PN=BQ+QE=BE注：对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题。练习：求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。【例4】已知如图所示，在ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DEBC与E，并与CA的延长线相交于F，酽锕极額閉镇桧猪訣锥。ABCDE12F求证：AD=AF 思路点拨：要证AD=AF，需证1=F，而1=2，2落在BDE中，F落在FEC中,因为DE BC，所以它们都为直角三角形。F与2的余角分别为B与C,由已知可得B=C，因而结论成立。证明：在ABC中AB=ACB=C（等边对等角） DEBC DEB=DEC
6、=900（垂直定义）2+B=900，F+C=900（直角三角形两锐角互余）2=F（等角的余角相等）1=2 1=F（等量代换） AF=AD（等角对等边）ABDC注：要注意“两头凑”的分析方法。本题还可以“作AGBC与G”，则AGFE来证。练习1：如图AC=AD，C=D，C求证BC=BD（试不用三角形全等来证）练习2:如图，已知ABC是等边三角形，点D.E分别在AC、BC上，且DEAB,DFDE,交BC的延长线与点F.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。求证：CD=CFDFBECA【例5】如图所示，ABC，ACB的角平分线交于F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E。求证：BD+EC=DE思路点拨：由DEBC
7、，得3=21=2 1=3 ADB=DF，同理CE=EF。从而问题得证。EF3D1C2B证明：DE BC（已知）3=2（两直线平行，内错角相等）又BF平分ABC（已知）1=2（角平分线定义）1=3 DB=DF（等角对等边）同理 EF=CE BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE。注：在三角形中一般是角平分线+平行线得等腰三角形。A练习：如图，BF平分ABC，CF平分ACG且DFBG.问DB、EC和DE之间存在着怎样的关系呢？请证之。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。BCGDEF1234【例6】图中，已知BCAC,DEAC,点D是AB的中点，A=300,DE=1.8,求AB的长。DCABE思路点拨：又A=
8、300可得在RtBAC，RtDAE中BC=1/2AB，DE=1/2AD，又点D为AB的中点可得厦礴恳蹒骈時盡继價骚。BD=AD =1/2AB于是可得DE=1/4AB解：A=300，DEAC，BCAC，（已知）DE=1/2AD，BC=1/2AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。又AD=1/2AB,DE=1/2AD=1/4AB,即AB=4DE=4*1.8=7.2注：在直角三角形中已知300的角就意味着边的2倍关系了，要注意充分利用这一条件进行计算。练习1：在RtABC中，C=900,若B=2A,则边AB与BC之间有什么关系？练习2：等
9、腰三角形的底角等于15，腰长为2a,求腰上的高。ABCDEO【例7】如图，在ABC中BDAC于D,BAC=2DBC.求证：ABC=ACB.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。思路点拨：由BAC=2DBC联想到作BAC的平分线，想办法证BAC的平分线垂直BC，即可得证。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。证明：作BAC的平分线AE交BC于E,交BD于O,则BAE=CAE=DBC.BDAC(已知）ODA=90（垂直定义）AOD=BOE(对顶角相等），OEB=1800-BOE-DBC=1800-AOD-CAE=ODA,即OEB=900ABC+BAE=900,ACB+CAE=900(直角三角形两锐角互余），ABC=ACB(等角的
10、余角相等）。注：要善于观察，积累辅助线的作法，本题还可用加倍小角来证明：即在ABD内作DBF=DBC交AC于F,預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。ABCD12练习：如图在ABC中1=2，ABC=2C求证：AB+BD=AC。ABCDE12【例8】如图，在ABC中，AD为中线，BAD=DAC 求证：AB=AC。思路点拨：从现有条件分析，在ABD与ACD中，1=2，AD=AD是公共边，D是BC的中点，即BD=DC具有“两边一对角”对应相等，无法断定全等，因AD是中线，就想到可把中线AD延长一倍，构造全等三角形来解此题。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE。在ACD和EBD中 AD=D
11、E， BD=DC，ADC=EDBACDEBD（SAS）BE=AC，BED=CAD（全等三角形的对应边、对应角相等）BAD=DAC（已知）BED=BAD（等量代换）AB=BE（等角对等边）AB=AC（等量代换）注：在三角形中有中线时常延长加倍中线，构造全等三角形，另外在等腰三角形中，常作一腰的平行线或作底的平形线，从而构造新的等腰三角形。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。ABCDFE练习：如图，在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上且BD=CE，连接DE交BC于F。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。求证：DF=EF。三、小结：1、本节课首先回顾了等腰三角形的性质和判定定理，并利用其定理进行了有关计算和证明。2、在等腰三角形中常用的辅助线有：（1）、作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）、在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。13 / 13
