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1、http:/18.1 勾股定理 达标训练一、基础巩固1.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n.2.直角三角形周长为12 cm，斜边长为5 cm，求直角三角形的面积.3.若直角三角形两直角边的比是34，斜边长是20，求此直角三角形的面积.4.一架云梯长25米，如图18120斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？图181205.等边三角形的边长为2，求它的面积.二、综合应用6.如图18121，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_.图18121 图181227.如
2、图18122，ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，A=60，求BC的长.8.在锐角ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围.9.如图18123，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。图1812310.已知：在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，设ABC的面积为S，周长为l.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(1)填表：三边a、b、ca+bc3、4、525、12、1348、15、176(2)如果a+bc=m，观察上表猜想：=_(用含有m的代数
3、式表示).(3)证明(2)中的结论.11.如图18124，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？图18124参考答案一、基础巩固1.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n.思路分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解.解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2，
4、化简得：n2=4.n=2，但当n=2时，n+1=10，n=2.2.直角三角形周长为12 cm，斜边长为5 cm，求直角三角形的面积.思路分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49.(3)(3)(2)，得：xy=12.直角三角形的面积是xy=12=6（cm2）.3.若直角三角形两直角边的比是34，斜边长是20，求此直角三角形的面积.解：设此直角三角形两直角边分别是3x、4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2=202，化简得x2=16；直角
5、三角形的面积=3x4x=6x2=96.4.一架云梯长25米，如图18120斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.图18120（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？思路分析：（1）可设这个梯子的顶端距地面有x米高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度组成直角三角形，所以x2+72=252，解出x即可.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4米，应计算才能确定.解：（1）设这个梯子的顶端距地面有x米高，据题意得AB2+BC2=AC2，即x2+72=252，解得x=24.
6、彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。轻轻告诉你个人的绝对自由是疯狂，一个国家的绝对自由是混乱。罗曼罗兰即这个梯子的顶端距地面有24米高. （2）如果梯子的顶端下滑了4米，即AD=4米,BD=20米，设梯子底端离墙距离为y米，据题意得BD2+BE2=DE2，即202+y2=252,解得y=15.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。此时CE=157=8.梯子的底部在水平方向滑动了8米.5.等边三角形的边长为2，求它的面积.解：如图，等边ABC中，作ADBC于D，则：BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）,AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）,BD=1.在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即A
7、D2=AB2BD2=41=3.AD=.SABC=BCAD=.注：等边三角形的面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a2.二、综合应用6.如图18121，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_.图18121 图18122思路分析：由勾股定理可知，第一个三角形的面积是；第二个三角形的面积是；第三个三角形的面积是；则第n个三角形的面积为.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。答案：7.如图18122，ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，A=60，求BC的长.思路分析：因为A是一个特殊角，可考虑过点B作BDAC，垂足为D，则ABD=30，所以AD可求.在RtBCD中，由勾股定理可求出BC
8、的长.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解：过点B作BDAC，垂足为D.A=60，ABD=30.AD=AB=15=7.5.BD2=AB2AD2=1527.52=168.75.在RtBCD中，由勾股定理得,BC 2=BD2+CD2=168.75+16.52=441.BC=21.抓住特殊角，构造直角三角形是解决本题的关键.本题也可以这样作辅助线：过点C作CEAB，垂足为E，但过点A作AFBC，垂足为F，则是行不通的.请你想一想为什么？从中可以得到什么启发？鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。8.在锐角ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围.思路分析：显然第三边bacb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角
9、形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC为直角三角形时第三边的值.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解：设第三边为c，并设ABC是直角三角形.当第三边是斜边时，c2=b2+a2，c=.当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2=a2+c2，c=（即）.ABC为锐角三角形，所以点A应当绕着点B旋转，使ABC成为锐角（如图），但是当点A从A1出发，移动到点A2位置时，在A1、A2处，ACB都成为直角,故点A应当在A1和A2间移动，此时AC.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。注：此题易忽视或中的一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否为直角边，所以要分两种情况考虑.9.如图18123，有一个高1.5米，半径是1
10、米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。图18123思路分析：题目中没有告诉铁棒如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5.所以最长是2.5+0.5=3(米).(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).答：这根铁棒的长应在23米之间(包含2米和3米).10.已知：在RtABC中，C=
11、90，A、B、C的对边分别为a、b、c，设ABC的面积为S，周长为l.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。(1)填表：三边a、b、ca+bc3、4、525、12、1348、15、176 (2)如果a+bc=m，观察上表猜想：=_(用含有m的代数式表示).(3)证明(2)中的结论.思路分析：（1）略；(2)根据（1）中结论得出猜想，.(3)证明：S=ab,l=a+b+c,.a+bc=m,a+b=m+c.又a2+b2=c2,(a+b)2=(m+c)2,即ab=m(m+2c).11.如图18124，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心20
12、0千米范围内是受台风影响的区域.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。图18124（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？思路分析：（1）A市是否会受到台风的影响,取决于距台风中心的距离，我们可首先计算A到BF的距离，若A市到BF的距离小于200千米，则受其影响，反之则不受其影响.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。（2）过A作AD=200 km，交BF于点D.计算出CD的距离，就可以计算出受影响的时间.解：（1）过A作ACBF于C，则AC=AB=150200，A市会受到台风影响.（2）过A作AD=200 km，交BF于点D.DC=，该市受台风影响的时间为：2=10小时.- 10 -
