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1、函数的单调性与导数（一）1.（2009北京文）设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（）,曲线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.2.（2009北京理）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等
2、式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（）,曲线在点处的切线方程为.（）由，得，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.3.(2009山东卷文)已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)
3、f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时,取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去),当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,; 当时,【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的
4、最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。4.设函数，其中常数a1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解：（I）由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数；当时，故在区间是增函数。综上，当时，在区间
5、和是增函数，在区间是减函数。（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。由假设知即解得 1a6故的取值范围是（1，6）5.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.6.
6、（2009安徽卷文）（本小题满分14分）已知函数，a0，（）讨论的单调性；（）设a=3，求在区间1，上的值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【解析】(1)由于令当,即时,恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时由得或或或又由得综上当时,在上都是增函数.当时,在上是减函数,在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为7.（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数（1）对于任意实数
7、，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围解：(1) , 因为,即恒成立, 所以,得，即的最大值为 (2) 因为当时, ;当时, ;当时, ;所以当时,取极大值;当时,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.8.（2009天津卷文）（本小题满分12分）设函数（）当曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=【解析】解：当所以曲线处的切线斜率为1.（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函
8、数在处取得极小值，且=9.已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有,即又，由已知得联立，解得.所以函数的解析式为（II）因为，令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；10.设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：解:（I）令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不
9、相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减。故11.设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：当解：（）.有条件知，故.于是.故当时，0；当时，0.从而在，单调减少，在单调增加.（）由（）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为.从而对任意，有.而当时，.从而12.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f(x)=xax+(a1)，讨论函数的单调性。解：(1)的定义域为。（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.13.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。11 / 11
