武康平-高级微观经济学04消费最优化讲义教材

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1、Lecture 4,消费最优化,Consumers Decision,2,Topics to be Discussed,效用最大化 支出最小化 效用与支出的对偶 消费者均衡,3,效用最大化,任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验命题。从古典经济学、到新古典经济学，再到当代主流经济学，经济学家们无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得到了越来越深入的研究。,一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。 另一方面，任何人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来一定限制。比如，人们需要商品，但必须能够卖得起。

2、 消费者受到的种种限制，虽然影响着选择，但也使得效用最大化问题有了解决途径服从约束条件的效用最大化。 理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下, 选择自己最满意的消费方案。这就是效用最大化。,5,定理 在X 为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系 p 0 及收入 r，预算集合 ( p, r) 都是有界闭集，从而是紧集。,证明：a = ( a1, a2, a)使得 x a 对一切 xX 成立( X 下有界)。令 bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2, ) 我们有：0 pi (xi ai) p (x a) r p a 对一切 x ( p, r)成立(p0& x a

3、)，故 pi xi r p a+ pi ai ( i = 1,2, )。可见， a x b = (b1, b2, b)，说明 ( p, r)有界。,从 又可知， ( p, r)是闭集。,1. 预算集合,预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，它是 X 的子集 ( p, r) = xX : p x r。超平面 p x = r 叫做预算线。,X,p x = r (预算线),(一) 预算约束,效用最大化, ( p, r),6,2. 最低生活保障,为了维护人民生活，国家建立最低生活保障制度。这种项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。 为

4、了保证消费者在收入限制下能选择到商品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf p x: xX 。最低生活保障制度是一种让收入 r 不低于 I( p) 的制度，条件 r I( p) 可叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。,定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。 如果 X 且 r I( p)，则预算集合非空，即 ( p, r) ； 如果 X 是非空下有界闭集，p0 且 r I( p)，则 ( p, r)是非空有界闭集 。,(一) 预算约束,效用最大化,7,效用最大化是指消费者在预

5、算约束的限制下进行最满意的消费。马歇尔从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认为最好的消费方案消费者最终决定的消费方案，称为马歇尔需求(向量)，简称需求(向量)。 准确地讲，消费者(X , )在价格体系 p 和收入 r 下的(马歇尔)需求集合D( p, r)，是指( p, r)中最好的消费方案的全体，即D( p, r) = x( p, r): (z( p, r)( z x )。,(二) 马歇尔需求,证明：任意给定 x, yD( p, r)。既然 x 是 ( p, r)中最好的，而 y( p, r)，因此 y x；同理，x y。于是，x y。,定理 马歇尔需求集合中任何两种方案都

6、无差异：(x, yD( p, r)(x y)。,无差异曲线, ( p, r),效用最大化,X,8,1. 关于马歇尔需求的基本问题,虽然从效用最大化出发导出了消费者需求，但有如下的三个基本问题必须回答。,消费者需求是否存在？即需求集合 D( p, r) 是否非空？如果需求集合是空集，那么效用最大化就是空谈。 消费者需求是否唯一？即在 D( p, r) 非空的情况下，D( p, r) 是否是单点集？如果 D( p, r) 不是单点集，那么就会引起消费选择上的不确定，会让消费者“眼花缭乱”。 消费者是否不把收入用完就能实现效用最大化？这是一个有关效用最大化理论是否符合实际现象的重要问题。 要回答这些

7、问题，涉及到价格收入集合 及其内部 。 价格收入集合 ： 集合的内部 ：,(二) 马歇尔需求,效用最大化,9,2. 存在性,(二) 马歇尔需求,效用最大化,定理 设消费者( X , )面临的价格体系为 p ， 收入为r 。 如果 X 是闭集， 是连续偏好，则D( p, r)是闭集。 如果 X 是凸集， 是弱凸偏好，则D( p, r)是凸集。 如果 X 是非空下有界闭集， 连续，p 0 且 r I( p)，则需求集合D( p, r)是非空闭集，从而马歇尔需求存在。,证明的关键：一是 ，二是连 续偏好在有界非空闭集中有满足。具体证明留作练习。 由此定理可知：理性消费者的马歇尔需求必然存在，即对任何

8、( p, r)，都有 D( p, r) 。,需求集映：理性消费者的马歇尔需求确定了一个从 到 X 的对应(取值为非空集合的集值映射)D : X ，称为消费者的需求对应或需求集映。,10,3. 唯一性,(二) 马歇尔需求,效用最大化,定理 设消费者( X , )面临的价格体系为 p ， 收入为r 。 如果 X 是凸集， 是严格凸偏好，则D( p, r)是单点集或空集。 如果 X 是凸集， 内部严格凸，D( p, r) X ，则D( p, r)是单点集或空集。 如果 X 是非空下有界凸闭集， 是连续的严格凸偏好，则对任何 ( p, r)，D( p, r)是单点集，即马歇尔需求唯一存在。 如果 X

9、是非空下有界凸闭集， 连续且内部严格凸，则对任何 ( p, r)，只要D( p, r) X ，D( p, r) 就是单点集。,证明的关键：假如 D( p, r) 中有两种不同方案，那么这两种方案必然无差异，且它们的加权平均必然比这两种方案优，而加权平均依然在预算集合中，这就出现了矛盾：预算集合中出现了比最优方案还要优的方案。矛盾的结论说明， D( p, r)中不可能存在两种不同的方案，即D( p, r)是单点集或空集。,11,4. 瓦尔拉定律,(二) 马歇尔需求,效用最大化,瓦尔拉定律 设 是 X 上无满足的凸偏好，则对任何( p, r) 及 xD( p, r)，都有 p x = r。这一定律

10、可写作 pD( p, r) = r。,证明：任意给定 xD( p, r)，则 p x r 。 无满足 ( yX )( y x)，故 p y r。 用反证法，假如 p x r。则在连接 x 与 y 的直线段上必有一点 z 使得 p z = r，如右图所示，故 z( p, r)。偏好的凸性保证了 z x，与 xD( p, r)相矛盾。矛盾的结论说明 p x r 不成立，即只有 p x = r。,瓦尔拉定律说明，要实现效用最大化，只有把钱花光。但实际上人们不会把钱花光，违背了瓦尔拉定律！其实，货币也是商品，也具有效用。当把货币加入到商品行列时，瓦尔拉定律正表明，为了效用最大化，消费者不会把钱花光。,

11、z, ( p, r),预算线,12,5. 零阶齐次性,(二) 马歇尔需求,效用最大化,定理 对任何( p, r)及任何正实数 t，都有D(t p, t r) = D( p, r)。 证明：这主要是因为 (t p, t r) = (p, r)。,零阶齐次性表明，如果所有商品价格都与消费者收入都以同样比例上升或下降，那么消费者需求不变。因此，价格和收入的同比例变动并不影响人们的选择和生活水平。 消费者收入来自提供生产要素得到的报酬。所有商品价格同比例上涨，意味着消费者收入同比例上升。 生产者方面的情况又怎样？以后要讲述的生产者理论给出的回答是：所有商品价格同比例上升并不影响生产选择，产品供应和要素

12、需求不会变化，而生产者的利润要同比例上升。 通货膨胀效应：所有商品价格同比例上升，既不改变消费选择，也不改变生产选择，反而使企业利润同比例上升。,13,定理 在假设HC和HP下，对任何( p, r)，需求集合D( p, r)都是单点集，故可以写成： D( p, r) = ( p, r)。 定义 在假设HC和HP下，由需求集映D : X 唯一确定的映射 : X 叫做(马歇尔)需求映射，其分量函数 h( p, r) 叫做(马歇尔)需求函数(h = 1,2,)：,(三) 需求映射与需求函数,定理 在假设HC和HP下，需求映射 : X 具有下述性质： 效用最大化：( p, r)， xX ， x ( p

13、, r) p x r ； 零阶齐次性：( p, r)，t 0，都有 (t p, t r) = ( p, r)； 瓦尔拉定律：( p, r)，都有 p ( p, r) = r。,我们已经看到了严格凸偏好在确定需求中的重要作用：选择明确，毫不含糊。这样，在假设 HC 和 HP 下，消费者需求便得以唯一确定，即下述定理。,效用最大化,14,(四) 间接效用函数,间接效用函数：当偏好 是通过效用函数 u 来表达时，需求向量 ( p, r) 的效用值 u( ( p, r) 便代表消费者生活水平。这就确定了一个函数 ： 叫做消费者的间接效用函数。 间接效用是由价格和收入决定的消费者效用水平。 间接效用函数

14、 反映了价格和收入同消费者的实际生活水平之间的关系，是代表实际生活水平的效用函数。,价格与收入决定马歇尔需求，马歇尔需求决定消费者的实际生活水平。因此，价格与收入共同决定消费者的生活水平。,需求的零阶齐次性表明，名义收入并不能真实反映消费者的生活水平，因为与高名义收入相伴随的高价格，可能并不改变消费者的选择。只有需求向量，才能代表实际生活水平。,效用最大化,15,(五) 应用事例,现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。,效用最大化,问题1：销售税与所得税哪一种对消费者更为有利？ 国家向居民征税有两种办法，一种是征收销售税，另一种是征收所得税。假定

15、不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民会更为有利一些? 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ 商品涨价，国家发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者会更为有利一些？,为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。,16,x,1. 销售税与所得税的比较,效用最大化,(五) 应用事例,销售税：税率向量 t = ( t1, t2, t)，ti 为购买一单位商品 i 的税额。按 t 征收销售税，相当于价格从 p升为p+t，

16、于是需求从 xD( p, r)变到 yD( p+t, r)，纳税额为 T = t y。注意， y ( p+t, r ) ( p, r)，故 y x。 所得税：把销售税改为所得税，直接从收入r中扣除销售税情况下的税额T = t y，则预算集合变为 ( p, r- T )，消费者选择变为 zD ( p, r- T )。,比较：易见，y( p, r- T )，故 y z。这说明，虽然纳税额相同，但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利一些。,x,y,y,z,( p,r),( p,r),( p+t,r),( p,rT ),( p+t,r),17,2. 价格补贴发放办法的比较,效用最大化,(五) 应用事例,不许涨价：把补贴发给生产者，不许商品涨价。这种情况下，消费者的选择为 xD( p, r)。 允许涨价：把补贴发给消费者，允许商品涨价。假定涨价后，价格体系为q。消