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1、椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:PA+PB=2a2c1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙:的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知、是两个定点,且,若动点满足则动点的轨迹是( )A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知、是椭圆的两个焦点,是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( )A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4. 已知、是平面内的定点,并且,是内的动点,且,判断动点的轨迹.5. 椭圆上一点到焦点的距离为2,为的中点,是椭圆的中心,则的值是。
2、(二) 标准方程求参数范围1. 若方程表示椭圆,求k的范围.(3,4)U(4,5)2. ( )A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 已知方程表示焦点在Y轴上的椭圆,则实数m的范围是. 4. 已知方程表示焦点在Y轴上的椭圆,则实数k的范围是. 5. 方程所表示的曲线是.6. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆,求实数的取值范围。7. 已知椭圆的一个焦点为,求的值。8. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是.(三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,5),椭圆上一点到两焦
3、点的距离之和为26;(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,6);(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,求椭圆方程.2. 以和为焦点的椭圆经过点点,则该椭圆的方程为。3. 如果椭圆:上两点间的最大距离为8,则的值为。4. 已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭圆C过点A(2,3),求椭圆C的方程。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。5. 已知P点在坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离为和,过点P作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆方程。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长是短轴长的2倍,且过点;(2) 在轴上的一
4、个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.(四) 与椭圆相关的轨迹方程1. 已知动圆过定点,并且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程.2. 一动圆与定圆内切且过定点,求动圆圆心的轨迹方程.3. 已知圆,圆,动圆与外切,与内切,求动圆圆心的轨迹方程.4. 已知,是圆(为圆心)上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为5. 已知三边、的长成等差数列,且点、的坐标、,求点的轨迹方程.6. 一条线段的长为,两端点分别在轴、轴上滑动 ,点在线段上,且,求点的轨迹方程.7. 已知椭圆的焦点坐标是,直线被椭圆截得线段中点的横坐标为,求椭圆方程.8. 若的两个顶点坐标分别是和,另两边、的斜
5、率的乘积是,顶点的轨迹方程为。9. 是椭圆上的任意一点,、是它的两个焦点,为坐标原点,OQPF1+PF2,求动点Q的轨迹方程。10. 已知圆,从这个圆上任意一点向轴引垂线段,垂足为,点在上,并且PM2MP,求点M的轨迹。11. 已知圆,从这个圆上任意一点P向x轴引垂线段PP,则线段PP的中点M的轨迹方程是。12. 已知A(0,-1),B(0,1),ABC的周长为6,则ABC的顶点C的轨迹方程是。13. 已知椭圆,A、B分别是长轴的左右两个端点,P为椭圆上一个动点,求AP中点的轨迹方程。14.(五) 焦点三角形4a1. 已知、为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于、两点。若,则。2. 已知、为椭圆的
6、两个焦点,过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点,则的周长是。3. 已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为。(六) 焦点三角形的面积: 1. 设是椭圆上的一点,、为焦点,求的面积。2. 已知点是椭圆上的一点,、为焦点,求点到轴的距离。3. 已知点是椭圆上的一点,、为焦点,若,则的面积为。4. 椭圆的两个焦点为、,过作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为,则。5. 已知AB为经过椭圆x2a2+y2b21(ab0)的中心的弦,F(c,o)为椭圆的右焦点,则AFB的面积的最大值为。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(七) 焦点三角形PF1PF21. 设椭圆的两焦点分别为和
7、,为椭圆上一点,求的最大值,并求此时点的坐标。2. 椭圆的焦点为、,点在椭圆上,若,则;。3. 椭圆的焦点为、,为其上一动点,当为钝角时,点的横坐标的取值范围为。4. P为椭圆上一点,、分别是椭圆的左、右焦点。(1)若的中点是,求证:;(2)若,求的值。(八) 中心不在原点的椭圆1. 椭圆的中心为点,它的一个焦点为,相应于焦点F的准线方程为,则这个椭圆的方程是。二、 椭圆的简单几何性质(一) 已知、求椭圆方程1 求下列椭圆的标准方程(1); (2),一条准线方程为。2 椭圆过(3,0)点,离心率为,求椭圆的标准方程。3 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的
8、标准方程为?4 椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为,两准线间的距离为4,则此椭圆的方程为?5 根据下列条件,写出椭圆的标准方程:(1) 椭圆的焦点为、,其中一条准线方程是;(2) 椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为,并且椭圆和直线恰有一个公共点;(3) 椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是。6 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,右准线方程为。求椭圆的方程。答案:7 根据下列条件求椭圆的方程:(1) 两准线间的距离为,焦距为;答案:或(2) 和椭圆共准线,且离心率为;(3) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点煌距离分别为和,过P
9、作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(二) 根据椭圆方程研究其性质1 已知椭圆的离心率为,求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。2 已知椭圆的长轴长是6,焦距是,那么中心在原点,长轴所在直线与轴重合的椭圆的准线方程是。3 椭圆的长轴长为,短轴长为,焦点坐标为,顶点坐标为,离心率为,准线方程为。(三) 求离心率1 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若,则椭圆的离心率为( )2 在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,以O圆心,a为半径作圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率。3 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份,则椭圆的离心率为?4 椭圆的短轴为AB
10、,它的一个焦点为F1,则满足为等边三角形的椭圆的离心率是?5 设椭圆的右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离,则椭圆的离心率是。答案:6 已知点,为椭圆的左准线与轴的交点,若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为。答案:(四) 第二定义1 设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为 2 。(五) 参数方程(六) 椭圆系1 椭圆与的关系为( ) A相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。三、 直线和椭圆的位置关系(一)判断位置关系1 当为何值时,直线和椭圆(1)相交;(2)相切;(3)相
11、离。2 若直线与椭圆有两个公共点,则实数的取值范围为。(二)弦长问题1. 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点,交椭圆于A、B两点,求AB的弦长2. .3 设椭圆的左右两个焦点分别为、,过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交,其中一个交点为。(1) 求椭圆的方程;(2) 设椭圆C的一个顶点为B(0,-b),直线交椭圆C于另一点N,求的面积。(三)点差法1. 已知一直线与椭圆相交于、两点,弦的中点坐标为,求直线AB的方程.2. 椭圆C以坐标轴为对称轴,并与直线l:x+2y=7相交于P、Q两点,点R的坐标为(2,5),若为等腰三角形,求椭圆C的方程。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。(四)向量结合(五)对称问题1. 已知椭圆,试确定m的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称。10