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1、- 1 - / 29 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列 （2010 上海文数）上海文数）21.(21.(本题满分本题满分 1414 分分) )本题共有本题共有 2 2 个小题，第一个小题满分个小题，第一个小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 个小个小 题满分题满分 8 8 分。分。 已知数列的前项和为，且， n an n S585 nn Sna * nN (1)证明：是等比数列；1 n a (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. n S 1nn SS n 解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以， 1
2、 5 1(1) 6 nn aa 又 a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：，得 1 5 115 6 n n a ，从而(nN*)；由 Sn1Sn，得， 1 5 1 15 6 n n a 1 5 7590 6 n n Sn 1 52 65 n ，最小正整数 n15矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 5 6 2 log114.9 25 n （2010 湖南文数）湖南文数）20.（本小题满分 13 分） 给出下面的数表序列： 其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2n-1，从第 2 行起，每行中的 每个数都等于它肩上的两数之和。聞創沟燴鐺險爱氇谴净
3、。 （I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广 到表 n（n3） （不要求证明） ；残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12，记此数列为 求和： n b 324 1 22 31 n nn bbb bbb bb b - 2 - / 29 - 3 - / 29 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （18） （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和 2 () 3n n SnnA （）求lim n n n a S ； （）证明： 12 222 3 12 n n aaa n 【
4、命题意图】本试题主要考查数列基本公式 1 1 (1) (2) n nn s n a ssn 的运用，数列极限和数列 不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 【参考答案】 - 4 - / 29 【点评】2010 年高考数学全国 I I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本 方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限
5、、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 （20102010 陕西文数）陕西文数）16.（本小题满分 12 分） 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn. 解 （）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得， 12 1 d1 8 12 d d 解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n. - 5 - / 29 ()由（）知=2n，由等比数列前 n 项和公式得2 m a Sm=2+22+23+2n=2n+1-2. 2(1 2 ) 1 2 n （20
6、10 全国卷全国卷 2 文数）文数） （18） （本小题满分 12 分） 已知是各项均为正数的等比数列，且 n a ， 12 12 11 2()aa aa 345 345 111 64()aaa aaa （）求的通项公式； n a （）设，求数列的前项和。 2 1 () nn n ba a n bn n T 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了数列通了数列通项项、前、前项项和及方程与方程和及方程与方程组组的基的基础础知知识识。 。 n （ （1） ）设设出公比根据条件列出关于出公比根据条件列出关于与与的方程求得的方程求得与与，可求得数列的通，可求得数列的通项项公式。公式。 1 a d1 a
7、d （ （2）由（）由（1）中求得数列通）中求得数列通项项公式，可求出公式，可求出 BN 的通的通项项公式，由其通公式，由其通项项公式化可知其和可分成两个公式化可知其和可分成两个 等比数列分等比数列分别别求和即可求得。求和即可求得。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 （20102010 江西理数）江西理数）22.（本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得成等差数列。 222 abc， （2）存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长为正整数且 nnnn abc， 成等差数列。 222 nnn abc， 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新
8、能力。 （1）考虑到结构要证， ；类似勾股数进行拼凑。 222 2acb 证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 222 1 ,5 ,7 a 均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形，再证明互不相似，且无穷。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 证明：当成等差数列，则， 222 nnn abc， 2222 nnnn bacb 分解得：()()()() nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式，做两种途径的分解 2 4 (1)n n 222 4 (1)(22)(22 )(22 )(22)n n
9、nnnnnn 2 4 (1)n n - 6 - / 29 对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 2 2 2 21 1(4) 21 n n n ann bnn cnn 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m，n，若m，相似：则三边对应成比例 n ， 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 11 11 mm mn nn （2010 安徽文数）安徽文数） （21） （本小题满分 13 分) 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线 12 , n C CCx
10、相切，对每一个正整数,圆都与圆相 3 3 yxn n C 1n C 互外切，以表示的半径，已知为递增数列.鹅娅尽 n r n C n r 損鹌惨歷茏鴛賴。 ()证明：为等比数列； n r （）设，求数列的前项和. 1 1r n n r n 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括 能力以及推理论证能力.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得 n C(,0) n 2 nn r ，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中 11 2 nn r n r 与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1
11、）的结论求的通项公式，代入数 1n r n r n r n r 列，然后用错位相减法求和.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 n n r - 7 - / 29 n nnnn n n+1n+1n+1nnn+1n+1nn n+1n n n 11 n nn n n 12 331 ,sin, 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n*3 r 12 . rr x C 解：（1）将直线y=的倾斜角记为, 则有t an = 设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理 ，从而，将代入， 解得 故为公比的等比数列。 （）由于，故，从而， 记S 121 n 121 n 121 n 1 1
12、, r 12*33*3. *3 1*32*3.(1)*3*3 3 1 33.3*3 3 1 333 *3()*3 , 2 22 3 9139(23)*3 ()*3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n nn n Sn 则有 S S , 得 2S 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关 于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项 n a 1n a 公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数 列时，通常是利用前 n 项和乘以公比，然后错位相减解决.渗釤呛
13、俨匀谔鱉调硯錦。 n S （2010 重庆文数） （16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ） 已知是首项为 19，公差为-2 的等差数列，为的前项和. n a n S n an （）求通项及； n a n S （）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列的通项公式及其前 nn ba n b 项和.n n T - 8 - / 29 （2010 浙江文数）浙江文数） （19） （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数 列an的前 n 项和为 Sn，满足+15=0。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 56 S S （）若=5，求及
14、a1； 5 S 6 S （）求 d 的取值范围。 （2010 重庆理数）重庆理数） （21） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 在数列中，=1，其中实数。 n a 1 a 1 1 21* n nn acacnnN 0c （I）求的通项公式； n a （II）若对一切有，求 c 的取值范围。*kN 21kzk aa - 9 - / 29 - 10 - / 29 - 11 - / 29 （2010 山东文数）山东文数） （18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列满足：，.的前 n 项和为. n a 3 7a 57 26aa n a n S （）求及； n
15、 a n S （）令（）,求数列的前 n 项和. 2 1 1 n n b a nN n b n T - 12 - / 29 （20102010 北京文数）北京文数） （16） （本小题共 13 分） 已知为等差数列，且，。| n a 3 6a 6 0a （）求的通项公式；| n a （）若等差数列满足，求的前 n 项和公式| n b 1 8b 2123 baaa| n b 解：（）设等差数列的公差。 n ad 因为 36 6,0aa 所以 解得 1 1 26 50 ad ad 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列的公比为 n bq 因为 2123 24,8baaab 所以 即=3824q q 所以的前项和公式为 n bn 1(1 ) 4(1 3 ) 1 n n n bq S q （20102010 北京理数）北京理数） （20） （本小题共 13 分） - 13 - / 29 已知集合对于 121 |( ,),0,1,1,2, (2) nn SX Xx xxxin n ， ，定义 A 与 B 的差为 12 (,) n Aa aa 12 ( ,) nn Bb bbS 1122 (|,|,|); nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1
