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1、第十一章 概率与统计二 随机变量【考点阐述】离散型随机变量的分布列离散型随机变量的期望值和方差【考试要求】（1）了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差【考题分类】（一）选择题（共1题）1.（全国新卷理6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（A）100 （B）200 （C）300 （D）400聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【答案】B 解析：根据题意显然有，所以，故（二）填空题
2、（共2题）1.（湖北卷理14）某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E=8.9，则y的值为 .【答案】0.4【解析】由表格可知：联合解得.2.（上海卷理6）随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是 解析：考查期望定义式E=70.3+80.35+90.2+100.15=8.2（三）解答题（共13题）1.（安徽卷理21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两
3、次排序的偏离程度的高低为其评分。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 ()写出的可能值集合；()假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；()某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，(i)试按()中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。2.（北京卷理17）某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀
4、成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望。解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（II）由题意可知，整理得pq=。（III）由题意知，3.（福建卷理16）设是不等式的解集，整数。（）记“使得成立的有序数组”为事件，试列举包含的基本事件；（）设，求的分布列及其数学期望。【命题意图】本小题主要考查概率与统计、不等式等基
5、础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【解析】（1）由得，即，由于整数且，所以A包含的基本事件为。（2）由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为，且有，故的分布列为0149P所以=。4.（广东卷理17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过50
6、5克的产品数量，求Y的分布列。从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。5.（湖南卷理17）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（）求直方图中x的值（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为EX30.3【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。属中档题6.（江西卷理18）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人
7、都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(1)求的分布列；(2)求的数学期望【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6，1346分布列为：（2）小时7.（全国卷理18）投到某杂志的稿件，先由两
8、位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05，复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望【解析】 ()记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.则 D
9、=A+BC,= =0.25+0.50.3 =0.40. ()，其分布列为：期望.8.（全国卷理20）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。（）求p；（）求电流能在M与N之间通过的概率；（）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.擁締凤袜备訊
10、顎轮烂蔷。【解析】记表示事件：电流能通过A表示事件：中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过，（）相互独立，,又 ，故 ，（）， =0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9=0.9891【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。9.（山东卷理20）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题
11、减2分；坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。（）求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望。本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查对立事件、独立事件的概率和求解方法，考查用概率知识解决实际问题的能力.買鲷
12、鴯譖昙膚遙闫撷凄。【解析】设分别为第一、二、三、四个问题.用表示甲同学第个问题回答正确，用表示甲同学第个问题回答错误，则与是对立事件.由题意得綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。所以（）记“甲同学能进入下一轮”为事件，则（）由题意，随机变量的可能取值为：.由于每题答题结果相互独立，所以因此 随机变量的分布列为所以 .【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。10.（四川卷理17）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，
13、中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E.解：显然甲、乙、丙三位同学是否中奖独立，所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是：（2）0123P E=11.（天津卷理18）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，
14、则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。【命题意图】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。構氽頑黉碩饨荠龈话骛。【解析】（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 = =（）解：由题意可知，的所有可能取值为=所以的分布列是01236P12.（浙江卷理19）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。（I）已知获得l，2，
