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1、第四章 三角函数三 三角函数的图像和性质【考点阐述】正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【考试要求】（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A、的物理意义聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示【考题分类】(一)选择题（共15题）1.（安徽卷理9）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关
2、于（单位：秒）的函数的单调递增区间是残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。A、B、C、D、和【答案】D【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。2.（福建卷文10）将函数的图像向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于 A.4 B.6 C.8 D.12謀荞抟箧飆鐸怼类
3、蒋薔。【答案】B【解析】因为将函数的图像向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即，解得，故选B。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。3.（湖北卷文2）函数f(x)= 的最小正周期为A. B.C.2D.4【答案】D【解析】由T=|=4，故D正确.4.（江西卷文6）函数的值域为ABCD【答案】C【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数，故令 可得从而求解出二次函数值域5.（江西卷文12）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数，的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图
4、像有错误，那么有错误的图像是茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【答案】C【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案C6.（辽宁卷理5文6）设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。（A） (B) (C)(D)3 7.（全国新卷理4文6）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【答案】C 解析：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴
5、。另解：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函数为，画图得C8.（全国卷理7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.9.（陕西卷理3）对于函数，下列选项中正确的是（ ）（A）f（x）在（，）上是递增的（B）的图像关于原点对称（C）的最小正周期为2（D）的最大值为2【答案】B【解析】，易知在上是递减的，选项错误.，易知为奇函数，的图象关于原点对称，选项正确.，
6、选项错误.，的最大值为，选项错误.故综上知，本题应选.10. （陕西卷文3）函数f (x)=2sinxcosx是(A)最小正周期为2的奇函数（B）最小正周期为2的偶函数(C)最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】因为f (x)=2sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期为，且为奇函数，选C。11.（四川卷理6文7）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。（A） （B）（C） （D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysi
7、n(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.答案：C12.（天津卷文8）为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由给出的三角函数图象知，A=1，解得，又，所以，即原函数解析式为，所以只要将的图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所得各
8、点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变即可得到函数的图象，选A。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【命题意图】本题考查正弦型三角函数的图象变换、考查正弦型三角函数解析式的求法，考查识图能力。13.（浙江卷理9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（A）（B）（C）（D）解析：将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。14（重庆卷理6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则A. =1 = B. =1 =- C.=2 = D.=2 = -【答案】D解析：由五点作
9、图法知，= -.15（重庆卷文6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】C、D中函数周期为2，所以错误 当时，函数为减函数而函数为增函数，所以选A（二）填空题（共5题）1.（福建卷理14）已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是。【答案】【解析】由题意知，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。2.（江苏卷10）定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于
10、点P2,则线段P1P2的长为_。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。【答案】 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为3.（浙江卷理11）函数的最小正周期是_ .解析：故最小正周期为，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题4.（浙江卷文12）函数的最小正周期是。解析：对解析式进行降幂扩角，转化为，可知其最小正周期为，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。5.（上海春卷1）函数的最小正周期T=_。答案：解析：由周期公式得。（三）解答题（共13题）1.（北京卷理15
11、）已知函数。（）求的值；（）求的最大值和最小值。解析：（I）（2）因为所以当时，取最大值6；当时，取最小值。2.（北京卷文15）已知函数（）求的值；（）求的最大值和最小值3.（广东卷理16）已知函数在时取得最大值4(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若(+)=,求sin，4.（广东卷文16）设函数，且以为最小正周期（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值w_w5.（湖北卷理16）已知函数，（）求函数的最小正周期；（）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合6.（湖北卷文16）已经函数()函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。7
12、.（湖南卷理16）已知函数（）求函数的最大值；（II）求函数的零点的集合。8.（湖南卷文16）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。9.（江西卷理17）已知函数（1）当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，求的值【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解：（1）当m=0时，由已知，得从而得：的值域为（2）化简得：当，得：，代入上式，m=-2.10.（江西卷文19）已知函数. （1）若，求；（2）若，求的取值范
13、围.【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。解：（1）由得，所以.（2）由（1）得由得，所以从而.11.（山东卷理17）已知函数，其图像过点。（）求的值；() 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。【解析】（）因为已知函数图象过点（,），所以有，即有=，所以，解得。（）由（）知，所以=，所以=，因为x0, ，所以，所以当时，取最大值；当时，取最小值。【命题意图】本题考查三角函数
14、的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。12.（山东卷文17）已知函数（）的最小正周期为，（）求的值； （）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力。【解析】因此1g（x），故 g（x）在此区间内的最小值为113.（天津卷理17）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。【命题意图】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。【解析】（1）由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函
