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1、2013版高考数学一轮复习精品学案：第十章 统计、统计案例10.2用样本估计总体与变量间的相关关系【高考新动向】一、用样本估计总体(一) 考纲点击1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点；矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释;4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想;聞創沟燴鐺險爱氇谴净。5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
2、(二)热点提示1.频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差是考查的重点,同时考查对样本估计总体的思想的理解;2. 频率分布直方等内容经常与概率等知识相结合出题；3题型以选择题和填空题为主，属于中低档题。二、变量间的相关关系(一)考纲点击1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系;2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.(二)热点提示1.以考查线性回归系数为主,同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系;2.以实际生活为背景,重在考查回归方程的求法;3.在高考题中本部分的命题主要是以选择、填空题为主，属于中档题目。【考纲全景透
3、析】一、用样本估计总体1.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);(2)决定组距与组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布表.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得频率分布折线图;(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。3.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离;(2) (3)方差: (是样本数据,是样本容量,是样本平均数)注:现实中的总体所包含个体数往往
4、是很多的,如何求得总体的平均数和标准差呢?(通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差,这与有样本的频率分布近似代替总体分布是类似的,只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.)酽锕极額閉镇桧猪訣锥。4.利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的值;(2)平均数:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和;(3)众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标.二、变量间的相关关系1.两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中,点散布
5、在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。2.回归方程(1)最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程,期中是待定参数.注:相关关系与函数关系的异同点(相同点:两者均是指两个变量的关系.不同点:函数关系是一种确
6、定的关系,相关关系是一种非确定的关系;函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系)謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【热点难点全析】一、用样本估计总体(一)频率分布直方图在总体估计中的应用相关链接频率分布直方图反映样本的频率分布(1)频率分布直方图中横坐标表示组距,纵坐标表示,频率=组距.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因此在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.(4)众数为最高矩形中点的横坐标.(5)中位数为平分频率分布直方图面积
7、且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.例题解析例为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该学生全体高一学生的达标率是多少?(3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由.思路解析:利用面积求得每组的频率求样本容量求频率和求达标率分析中位数.解答:(1)由已知可设每组的频率为2x,4x,17x,15x,9x,3x.则
8、2x+4x+17x+15x+9x+3x=1,解得x=0.02.则第二小组的频率为0.024=0.08,样本容量为120.08=150.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(2)次数在110次以上(含110次)的频率和为170.02+150.02+90.02+30.02=0.88,则高一学生的达标率为0.88100%=88%.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第四组.因为中位数为平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。注:利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布,要比较准确地反映出总体分布的情况,必须准确地作出频率分布表和频率分布直方
9、图,充分利用所给的数据正确地作出估计.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。(二)用样本的分布估计总体相关链接茎叶图刻画数据的优点(1)所有的数据信息都可以从茎叶图中得到.(2)茎叶图便于记录和表示,且能够展示数据的分布情况.注:当数据是两位有效数字时,用茎叶图显得容易、方便.而当样本数据较大和较多时,用茎叶图表示,就显得不太方便.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。例题解析例在某电脑杂志的一篇目文章中,每个句子的字数如下:10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某报纸的一篇文章中,每个句子中所含的字数如下:27,39,33,24
10、,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。(1)将这两组数据用茎叶图表示;(2)将这两组数据进行比较分析,得到什么结论?思路解析:(1)将十位数字作为茎,个位数字作为叶,逐一统计;(2)根据茎叶图分析两组数据,得到结论.解答:(1)如图:(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在1030之间,中位数为22.5;而报纸上每个句子的字数集中在1040之间,中位数为27.5.可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少.说明电脑杂志作为读物须通俗易懂、简明.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。(三)用样本的数
11、字特征估计总体的数字特征例甲乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.思路解析:(1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩;(2)利用公式求出平均数、方差,再分析两人的成绩,作出评价.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。解答:(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.(2)由可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.蜡變黲癟報伥铉锚
12、鈰赘。注:(1)运用方差解决问题时,注意到方差越大,波动越大,越不稳定;方差越小,波动越小,越稳定.(2)平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简单的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。(3)平均数、方差的公式推广若数据的平均数为,那么的平均数是.数据的方差为.a.b.数据的方差也为;c.数据的方差为.二、变量间的相关关系(一)利用散点图判断两个变量的相关关系相关链接1.散点图在散点图中,如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.如果所有的样本
13、点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。注:函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.2.正相关、负相关从散点图可知,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.如年龄的值由小变大时,体内脂肪含量也在由小变大.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。反之,如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.例题解析例在某地区的1230岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系。
14、思路解析:(1)用x轴表示身高,y轴表示体重,逐一描出各组值对应的点.(2)分析两个变量是否存在相关关系.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。解答:以x轴表示身高,y轴表示体重,可得到相应的散点图如图所示:由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为正相关.(二)求回归方程相关链接最小二乘法(1)最小二乘法是种有效地求回归方程的方法,它保证了各点与此直线在整体上最接近,最能反映样本观测数据的规律.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。(2)最小二乘法估计的一般步骤:作出散点图,判断是否线性相关;如果是,则用公式求a、b,写出回归方程;根据方程进行估计.注:如果两个变量不具有线性相关关系,即使求出回归方程也毫无意义,而且用其进行
15、估计和预测也是不可信的.例题解析例如表,其提供了某厂节能降耗技术改造生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。(1)请画出表中数据的散点图;(2)请根据表中提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归方程思路解析:作散点图求出求得回归方程解答:(1)题设所给数据,可得散点图如图.(2)对照数据,计算得:,所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:因此,所求的线性回归方程为.(三)利用回归方程对总体进行估计例炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据,如表所示:輒峄陽檉簖疖網儂號泶。(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?(2)求回归方程;(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?思路解析:(1)将表中的各对数据在平
