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1、第四章 一元函数的积分及其应用,第一节 不定积分 第二节 定积分概念 第三节 微积分基本公式 第四节 定积分的应用,2020年8月11日星期二,2,第二节 定积分概念,一、定积分引例 二、定积分的定义和存在定理三、定积分的几何意义与定积分的性质,3,一、原函数与不定积分的概念,4,解决方案：将曲边梯形分割成若干个底边很窄的小曲边梯形，则每个小曲边梯形的高度变化很小，可用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积. 将小曲边梯形的面积近似值相加，得到大曲边梯形的面积近似值，分割越细，就越接近实际面积.,步骤如下：,5,6,7,8,9,10,11,二、定积分的定义和存在定理,由上述两例可见，两个引例的计算得
2、到两个结果,路程,两个引例所计算的量不同，但它们的计算方法与步骤都相同，都归纳为一种和式极限，将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义.,面积,1. 定积分的定义,12,13,14,上述两个引例所计算的量分别可用定积分表示：,变速运动的路程：,曲边梯形的面积：,从定积分的定义可以得出,(2)当,时，,(3)当,时，,(1)积分与积分变量无关，即：,15,2. 定积分存在定理,16,三、定积分的几何意义与定积分的性质,17,例如, 根据正余弦曲线的图像特性和定积分几何意义, 易知,18,19,证明,=,=,2. 定积分的性质 根据定积分的定义和极限运算法则，可得下列性质：,.,20,21,22,证
3、明 利用性质6，,由闭区间上连续函数的介值定理，知在,上至少存在一点,，使,故,.,23,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,24,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件:,(证明略),例1. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,取,25,26,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,27,例2. 用定积分表示下列极限:,解:,28,说明:,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将 a , b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),29,(梯形公式),为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森,公式, 复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.,30,例3. 利用定积分几何意义计算,解:,31,例4. 试证:,证: 设,即,故,即,32,例5.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解: 已知自由落体速度为,故所求平均速度,
