《【课件-高等数学】_第二章一元函数的极限及其连续性_2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【课件-高等数学】_第二章一元函数的极限及其连续性_2（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 一元函数的极限及其连续性,第一节 函数 第二节 函数的极限 第三节 函数的连续性,2020年8月11日星期二,2,第二节 函数的极限,一、数列的极限 二、函数的极限 三、极限的四则运算 四、两个重要的极限及其应用 五、无穷小量及其性质,3,引例：柯赫雪花曲线,n=4,n=3,n=2,n=1,周长：,面积：,一、数列的极限,4,5,例1,趋势不定,收 敛,发 散,6,多次注射情况下体内药物浓度：第次注射后体内药量分布图。如果持续下去体内药物量将稳恒在某一水平上,7,当 n N 时,总有,几何解释 :,即,8,收敛数列的基本性质：,9,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而
2、,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,性质1. 收敛数列的极限必唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,10,性质2. 有极限的数列必定为有界数列.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,11,(3) 单调有界数列必有极限 ( 准则1 ),12,(4) 夹挤准则 (准则2),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,13,2、自变量趋于有限值时函数的
3、极限,自变量变化过程的六种形式:,1、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,二、函数的极限,14,1、自变量趋于无穷大时函数的极限,15,16,17,(一)、自变量趋于无穷大时函数的极限,1 .定义 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,A 为函数,18,2、自变量趋于有限值时函数的极限,19,20,1 .定义 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,(二)、自变量趋于有限值时函数的极限,21,22,例4. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,
4、显然,所以,不存在 .,23,三、极限的四则运算,24,例10.,25,例11 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,26,例12 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,27,一般有如下结果：,为非负常数 ),28,例13. 求,解: 令,已知, 原式 =,29,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,30,3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,31,四、两个重要的极限及其应用,32,圆扇形AOB的面积,证: 当,即,亦即,时
5、，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,33,例5. 求,解:,例6. 求,解: 令,则,因此,原式,34,例7. 求,解: 原式 =,例8. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,35,2.,图 函数的图形.随x的增加函数值单调增加但总的趋势不超过3,36,2.,证: 当,时, 设,则,37,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,38,例9. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,39,例10. 求,解: 原式 =,40,2. 两个重要极限,或,41,五、无穷小量及其性质,42,43,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数
6、的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,44,45,46,47,例1. 证明: 当,时,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,48,定理1.,证:,即,即,例如,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,49,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,50,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若 = o() ,(2) 和差代替规则:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,51,(3) 因式代替规则:,界, 则,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式,52,例12. 求,解:,
