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1、第一章 曲线与曲面,第一节 空间形式概述 第二节 平面与空间直线的方程 第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式,2020年8月11日星期二,2,日常生活中，“空间”是个高频率名词： “占据的空间较大”； “宇宙空间”； “磁盘空间”； 事物或人的“发展空间”； “给我一个空间（舞台），还你一片精彩” ； 数学中空间有其特定的涵义。,3,现实世界中的万事万物，无一不在一定的空间中运动变化，在运动变化过程中都存在一定的数量关系. 数学就是研究现实中数量关系与空间形式的科学.,1619年，笛卡儿为空间安上了坐标架，具体地说是引入了坐标系和数轴. 从而使数与形结合起来，诞生了解析几何学（包括平面
2、解析几何和空间解析几何）. 而后随着坐标系概念和方法体系的逐渐完美，数学步入快速发展阶段.,4,第一节 空间形式概述,一、几何空间 1、一维空间 2、二维空间 3、三维空间 二、高维空间 1、四维空间 2、n维空间,5,1、一维空间：位于一条直线上点的全体。 （1）特征与代表：点可以沿一个方向移动.直线（Line）是一维空间的代表; （2）数形结合：一维空间中的点与实数之间形成了一种一一对应关系. 人门也把一维空间内的点的位置与他对应的是数的大小一致起来，甚至把实数与它在一维空间内对应的点不加区别。如实数a小于b（对应地，b大于a）可以说成点a位于点b的左边（对应地，点b位于点a的右边）; （
3、3）度量:一维空间的距离定义为：设M、N是直线上两点，其坐标分别为m,n，则两点间的距离为m-n; （4）物理模型：时间的几何模型是一维的直线，一维空间。,一、几何空间,6,2、二维空间：位于一个平面（一直线平动或转动形成）上点的全体。 （1）特征与代表：平面（Plane）是二维空间的代表. 可以向两个独立的方向发生移动和转动. （2）数形结合：平面直角坐标系；极坐标系；其它坐标系，本质是二维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系. （3）度量:两点间距离公式 （4）物理模型：台面、墙面、（假想的）地平面,一、几何空间,7,3、三维空间：空间（一个平面沿一直线方向（不在该平面内）移动或作旋转
4、移动一直线平动或转动形成）点的全体。 （1）特征与代表：可以向三个独立的方向发生移动和转动；现实世界的物体是其代表. （2）数形结合：空间直角坐标系；其它坐标系，本质是三维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系. （3）度量:两点间距离公式 （4）物理模型：现实世界的物体；,一、几何空间,8,R3.1 空间直角坐标系,（1）空间直角坐标系中点与数队对应规则： （2）空间直角坐标系(spatial coordinate system). 坐标轴 右手规则：右手握住z轴，四个手指从正向x轴转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向； 坐标原点（coordinate origin） 坐标平面（co
5、ordinate plane） 卦限（octants）.,人体解剖学： 矢状轴(x轴), 冠状轴(y轴)和垂直轴(z轴)组成了直角坐标系. 冠状面(yoz平面)、矢状面(xoz平面)、水平面(xoy平面)将人体分成八个部分.,9,R3.2 认识空间曲面,10,四维空间 （1）一三维立体图形（或空间）并朝第四维的方向（即不同于左右、上下、前后的方向）移动（可以是直线移动或旋转移动），这时我们就形成了一个被看作是四维的立体图形（如下图）.,二、高维空间,11,从一个零维物体，即一个点开始，现在将该点向左或向右移动一个单位，这便形成一条线段，这线段就是一维的物体. 现将线段向上或向下移动一个单位，便
6、会形成一个正方形，这个正方形就是二维物体. 按同样的方式进行，把正方形向里或者向外移动一个单位，便会形成一个立方体，它就是一个三维物体. 下一步要设法并想象移动这个立方体，使其朝第四维的方向运动一个单位，以产生一个超立方体，也称作立方镶嵌体（如图）.,12,（2）数形结合： 四空间可以定义为四维数组(a,b,c,d)的集合。也可以类似地建立由四个互相垂直的数轴组成的坐标系。 （3）度量:四维空间中两点（a,b,c,d）和 (p,q,r,s)的距离公式为,（4）物理模型：时空,数 海 拾 贝,“上下四方曰宇，往古来今曰宙” （引自尸子）。宇就是空间，宙就是时间。中国的传统思想是把空间和时间联系在一起的。这一点也和西方古代把二者看成是两个互相割裂的概念大不相同。,13,2. n维空间,（2）特征：通常，n维空间记为Rn,对应地，一、二、三、四维空间分别记为R1, R2, R3, R4,(1)定义、对应规则：设n为取定的一个自然数，我们称有序n元数组的全体为n维空间。 而每个有序n元数组称为n维空间中的一个点，数称为该点的第i个坐标. 显然，有序n元数组与n维空间中的点一一对应.,14,（4）物理模型：,确定飞机的状态需用6维向量,飞机重心在空间的位置参数,机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,15,Any Questions?,
