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1、第八章 矩阵理论初步及其应用,第一节 矩阵及其运算 第二节 线性方程组 第三节 行列式 第四节 矩阵初等变换的应用 第五节 线性空间 第六节 矩阵与线性方程组在生物医学 中的应用,2020年8月11日星期二,2,第一节 矩阵及其运算,一、矩阵概念的引入 二、矩阵的基本概念 三、矩阵的运算,3,例1. 线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,4,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,例2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,5
2、,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,6,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,7,二、矩阵的基本概念,由 个数 排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,记作,8,简记为,主对角线,副对角线,9,例如,是一个 实矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,10,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,11,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角 矩阵(或对角阵）.,12,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,13,(5)方阵,称为单位矩阵（
3、或单位阵）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,14,例如,为同型矩阵.,15,例：线性变换,这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换.,16,、矩阵的加法,三、矩阵的运算,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,17,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.,例如,18,矩阵加法的运算规律,19,2、数与矩阵相乘,20,数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,21,并把此乘积记作,3、矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个
4、 矩阵 ，其中,22,例,设,例2,23,故,解,24,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,25,矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,26,注意矩阵不满足交换律，即：,例 设,则,27,但也有例外，比如设,则有,28,例3 计算下列乘积：,解,29,解,=(,）,30,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,4、矩阵的转置运算,31,转置矩阵的运算性质,32,例4 已知,解法1,33,解法2,34,对称矩阵与反对陈矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,35,5、逆矩阵的概念和性质,例 设,36,例 设,解:,设 是 的逆矩阵,则,37,又因为,所以,38,逆矩阵的运算性质,39,证明,40,证明,41,
