《【课件-高等数学】_第七章重积分.2 二重积分的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【课件-高等数学】_第七章重积分.2 二重积分的计算（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,三、二重积分的换元法,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,第二节 二重积分的计算法,二重积分(double integral) 在直角坐标系 中的累次积分,一、利用直角坐标计算二重积分,(1)若D为 X 型区域,(2) 若D为Y 型区域,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例2. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,例2. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D
2、 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例3. 交换下列积分顺序,例3. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,例4. 计算,其中D 由,所围成.,例4. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,二重积分在极坐标(polar coordinates)中的累次积分,二、利用极坐标计算二重积分,即,设,则,特别, 对,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,问 的变化范围是什么?,(1),(2),例1. 计算,其中,例1. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是
3、初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,例2. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,例2. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,二重积分的换元法(integration by substitution),定积分换元法,二重积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,例1. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,例1. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形
4、 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,平面闭区域.,2计算.,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,
