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1、第五章 微分方程,第一节 一些物理规律的数学描述微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中的应用实例,2020年8月11日星期二,2,一阶微分方程的,习题课 (一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,3,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,4,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变
2、量方程:,通解,5,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,6,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,7,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,8,令 y = u t,(齐次方程),令 t = x 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,9,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,10,例3.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(
3、x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,11,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,12,题2 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,题3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :,提示: 这是一阶线性方程 , 其中,13,提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程,提示: 为贝努里方程 , 令,提示: 为全微分方程 , 通解,提示: 可化为贝努里方程,令,微分倒推公式,14,原方程
4、化为, 即,则,故原方程通解,提示: 令,15,例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h,一鸭子从点 A 游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程 .,O ,水流速度大小为 a ,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,16,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,( 齐次方程 ),17,思考: 能否根据草图列方程?,练习题:,题5 . 已知某曲线经过
5、点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .,提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,18,题6. 已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空,的含量不超过 0.06 % ?,提示: 设每分钟应输入,t 时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ),得微分方程,( 假定输入的新鲜空气,输入 ,的改变量为,19,t = 30 时,解定解问题,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气 .,初始条件,得,k = ?,
