《全国高考圆锥曲线典型例题(必考)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高考圆锥曲线典型例题(必考)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 9.1椭圆 典例精析 题型一求椭圆的标准方程 【例 1】已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为和矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 4 5 3 ，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 2 5 3 【解析】故所求方程为1 或1.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 x2 5 3y2 10 3x2 10 y2 5 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种 情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2ny21(m0，n0 且 mn)；(2)在求椭圆中的 a、b、c 时， 经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.残骛楼諍锩瀨濟溆
2、塹籟。 【变式训练 1】已知椭圆 C1的中心在原点、焦点在 x 轴上，抛物线 C2的顶点在原点、焦点在 x 轴上. 小明从曲线 C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得 其中恰有一个点既不在椭圆 C1上，也不在抛物线 C2上.小明的记录如下：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 据此，可推断椭圆 C1的方程为.1. x2 12 y2 6 题型二椭圆的几何性质的运用 【例 2】已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是
3、，1).(2)21FPFS mnsin 60b2，彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 1 2 1 2 3 3 【点拨】椭圆中F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用； 求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|PF2|() |PF1|PF2| 2 2，|PF1|ac.【变式训练 2】已知 P 是椭圆 1 上的一点，Q，R 分别是圆(x4)2y2 和圆謀荞 x2 25 y2 9 1 4 抟箧飆鐸怼类蒋薔。 2 (x4)2y2 上的点，则|PQ|PR|的最小值是.【解析】最小值为 9.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 1 4 题型三有关椭圆的综合问题
4、【例 3】(2010 全国新课标)设 F1，F2分别是椭圆 E：1(ab0)的左、右焦点，过 F1斜率为 x2 a2 y2 b2 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求 E 的方程.(1).(2)为1.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 2 2 x2 18 y2 9 【变式训练 3】已知椭圆1(ab0)的离心率为 e，两焦点为 F1，F2，抛物线以 F1为顶点， x2 a2 y2 b2 F2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若e，则 e 的值是()籟丛妈羥为贍
5、偾蛏练淨。 |PF1| |PF2| A.B.C.D.【解析】选 B預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 3 2 3 3 2 2 6 3 题型思有关椭圆与直线综合问题 【例 4】 【2012 高考浙江理 21】如图，椭圆 C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点 P(2，1)的 22 22 +1 xy ab 1 2 距离为不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分10 渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 ()求椭圆 C 的方程； () 求ABP 的面积取最大时直线 l 的方程 . 3 【变式训练 4】 【2012 高考广东理 20】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1
6、：的离心率 e=，且椭圆 C 上的点到 22 22 1(0) xy ab ab 2 3 Q（0，2）的距离的最大值为 3.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）在椭圆 C 上，是否存在点 M（m,n）使得直线 ：mx+ny=1 与圆 O：x2+y2=1 相交于不同的两点l A、B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明 理由擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 总结提高 1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确 定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定 a、
7、b 的值(即定量)，若定位条件 不足应分类讨论，或设方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)求解.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到 两焦点的距离和为常数进行计算推理.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼， 另外一定要注意椭圆离心率的范围.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 练习 1（2009 全国卷理）已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点 B，若3FAFB ,则|AF =( ) A. 2 B. 2
8、C.3 D. 3选 A買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 .2（2009 浙江文）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且 BFx轴，直线AB交y轴于点P若2APPB ，则椭圆的离心率是（ ）綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 【答案】D 3.（2009 江西卷理）过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P， 2 F为右焦 点，若 12 60FPF ，则椭圆的离心率为 4 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 【答案】B 4.【2012 高考新课标理 4】设 12
9、FF是椭圆的左、右焦点，为直线 3 2 a x 上 22 22 :1(0) xy Eab ab P 一点，是底角为30的等腰三角形，则的离心率为（）驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。 12PF FE 【答案】C( )A 1 2 ( )B 2 3 ( )C ()D 5【2012 高考四川理 15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 22 1 43 xy FxmAB 的周长最大时，的面积是_。 【答案】3猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。FABFAB 6【2012 高考江西理 13】椭圆 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x F1，F2。若，成等比数列，则此椭
10、圆的离心率为_.【答案】锹籁饗迳 1 AF 21F FBF1 5 5 琐筆襖鸥娅薔。 【例 4】 【解析】()： 22 +1 43 xy ()易得直线 OP 的方程：yx，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中 y0 x0構氽頑黉碩饨荠龈话骛。 1 2 1 2 22 0 22 0 +1 2333 43 4422 +1 43 AA ABAB AB ABAB BB xy xyyxx k xxyyy xy 设直线 AB 的方程为 l：y(m0)，入椭圆：显然 3 2 xm 22 22 +1 43 3330 3 2 xy xmxm yxm - m且 m0由上又有：m， 222 (
11、3 )4 3(3)3(12)0mmm 1212 AB xx AB yy 2 3 3 m |AB|1 AB k AB xx 1 AB k 2 ()4 ABAB xxx x 1 AB k 2 4 3 m 点 P(2，1)到直线 l 的距离表示为： 3 12 11 ABAB mm d kk S ABP d|AB|m2|，当|m2|，即 m3 或 m0(舍去)时，(S ABP)max 輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 1 2 1 2 2 4 3 m 2 4 3 m 1 2 此时直线 l 的方程 y 31 22 x 5 【变式训练 4】 【解析】 （1）设 22 cab由 22 22 33 c eca a ，所以
12、 2222 1 3 baca 设( , )P x y是椭圆C上任意一点，则 22 22 1 xy ab ，所以 2 2222 2 (1)3 y xaay b 2222222 |(2)3(2)2(1)6PQxyayyya 当1b 时，当1y 时，|PQ有最大值 2 63a ，可得3a ，所以1,2bc 当1b 时， 22 6363PQab 不合题意 故椭圆C的方程为： 2 2 1 3 x y （2）AOB中，1OAOB， 11 sin 22 AOB SOAOBAOB 当且仅当90AOB 时， AOB S有最大值 1 2 ， 90AOB 时，点O到直线AB的距离为 2 2 d 22 22 212
13、2 22 dmn mn 又 2222 31 33, 22 mnmn，此时点 62 (,) 22 M 。 6 9.2双曲线 典例精析 题型一双曲线的定义与标准方程 【例 1】已知动圆 E 与圆 A：(x4)2y22 外切，与圆 B：(x4)2y22 内切，求动圆圆心 E 的轨 迹方程.【解析】1(x).尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。 x2 2 y2 142 【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求 解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。 【变式训练 1】P 为双曲线1 的右支上一点，M，N 分别是圆(x5)2y24 和凍鈹鋨劳臘锴痫
14、婦 x2 9 y2 16 胫籴。 (x5)2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为() A.6B.7C.8D.9【解析】选 D. 题型二双曲线几何性质的运用 【例 2】双曲线 C：1(a0，b0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q(2a,0)，若 C 上存在一点 x2 a2 y2 b2 P，使PQAP0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1，).恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。 6 2 【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法. 【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F， x2 a2 y2
15、 b2 且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是()鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。 A.k2e21B.k2e21 C.e2k21D.e2k21【解析】 ，故选 C. 题型三有关双曲线的综合问题 【例 3】(2010 广东)已知双曲线y21 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P(x1，y1)，Q(x1，y1)是 x2 2 双曲线上不同的两个动点.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程；(2)若过点 H(0，h)(h1)的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都 只有一个交点，且 l1l2，求 h 的值.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。 【解析】(1)轨迹 E 的方程为y21，x0 且 x.(2)符合条件的 h 的值为或.氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。 x2 2232 7 【变式训练 3】双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过 F2的直线与 x2 a2 y2 b2 双曲线的右支交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2等于()釷鹆資贏 車贖孙滅獅赘。 A.12B.32C.42D.52【解析】故选 D怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。 2222 总结提高 1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如 a，b，c 的关系、渐近线
