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1、第六部分平面向量知识点总结精华1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；坐标表示法 aj（，）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作a.(4)特殊的向量：零向量aOaO.单位向量aO为单位向量aO1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作ab.平行向量也称为共线向量.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则向量的减法三角形法则
2、,数乘向量1.是一个向量,满足:2.0时, 同向;0时, 异向;=0时, .向量的数量积是一个数1.时，.2.4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)两个向量平行的充要条件abab(b0)x1y2x2y1O.(3)两个向量垂直的充要条件ababOx1x2y1y2O.(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为，即，则 (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式)当1时，得中点公式：（）或 (5)平移公式设点P(x，y)按向量a（，）平移后得到点P（x，y），则
3、+a或曲线yf（x）按向量a（，）平移后所得的曲线的函数解析式为：yf（x)(6)正、余弦定理正弦定理：余弦定理：a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.（7）三角形面积计算公式：设ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.S=1/2aha=1/2bhb=1/2chcS=Pr S=abc/4RS=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA S= 海伦公式 S=1/2（b+c-a）ra如下图=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb注：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个
4、是内心，其余3个是旁心.如图： 图1中的I为SABC的内心， S=Pr图2中的I为SABC的一个旁心，S=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.已知O是ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c 注：s为ABC的半周长,即则：AE=1/2（b+c-a） BN=1/2（a+c-b） FC=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已
5、知在RtABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）. 在ABC中，有下列等式成立.证明：因为所以，所以，结论！在ABC中，D是BC上任意一点，则.证明：在ABCD中，由余弦定理，有在ABC中，由余弦定理有，代入，化简可得，（斯德瓦定理）若AD是BC上的中线，；若AD是A的平分线，其中为半周长；若AD是BC上的高，其中为半周长.ABC的判定：ABC为直角A + B =ABC为钝角A + BABC为锐角A + B附：证明：，得在钝角ABC中，平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.空间向量1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表
6、示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线4共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满
7、足等式 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。其中向量叫做直线的方向向量.5向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有式叫做平面的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间
8、任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。9向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.10向量的数量积： 已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。可以证明的长度11空间向量数量积的性质： （1）（2）（3）12空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律）空间向量的坐标运算一知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.彈贸摄尔霁毙攬
9、砖卤庑。令=(a1,a2,a3),，则(用到常用的向量模与向量之间的转化：)空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。证直线和平面平行定理：已知直线平面，且CDE三点不共线，则a的充要条件是存在有
10、序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 （是充要条件）重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设，则向量必平分BAC，该向量必通过ABC的内心; 设，则向量必平分BAC的邻补角 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过ABC的垂心 ABC中一定过的中点，通过ABC的重心 点是ABC的外心 点是A
11、BC的重心 点是ABC的垂心 点是ABC的内心 (其中a、b、c为ABC三边) ABC的外心、重心、垂心共线，即 设为ABC所在平面内任意一点，G为ABC的重心，I为ABC的内心，则有并且重心G（，） 内心I（，）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。试题精粹江苏省2011年高考数学联考试题10（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）在中，是内一点，且满足，则=（-3）預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。7（江苏省2010届苏北四市第一次联考）在ABC中，分别为三个内角A，B，C的对边，设向量，若，则角A的大小为 渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。10（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知，其中，若，则的值等于1
12、11、（南通市六所省重点高中联考试卷）在ABC中，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于11. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）在ABC中，点M满足，若 ，则实数m的值为讲评建议：一种思维是对已知向量向目标向量分解，一种思维是理解已知向量条件的几何意义，既点M是三角形ABC的重心，再结合，三角形向量的中线形式，此问题观察即可解决，所以掌握相关结论，有了结论便利于联想。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。6（苏州市2011届高三调研测试）设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则.【解析】16（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）（14分）已知向量,（1）若为中点，求的值；（2）若是直角三角形，求的值。16解：(1) （1分）而， （7分）（2）当时， （9分）当时， （10分）（12分）当时，综上 或 （14分）16、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分14分）已知向量，其中、为的内角.()求角的大小；()若，成等差数列，且，求的长.解：()(2分)对于，(4分)又，(7分)()由，由正弦定理得(9分)，即(12分)由余弦弦定理，(14分)16（无锡市1月期末调研）(本小题满分14分)已知ABC中，, （1）求；（2）设，且已知 ，求sinx16（1）由已知，即，2分， ， 3分在RtBCD 中，,
