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1、专题二：数列的题型与方法一、 考点回顾1数列的概念，数列的通项公式与递推关系式差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：若，则为等差数列；若，则为等比数列。中项公式法：验证都成立。3.在等差数列中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当,d0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当,d0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。
2、矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。5.数列的综合应用：函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。6注意事项：证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明或而得。在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。注意一些特殊数列的求和方法。注意与之间关系的转化。如：=，=数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打
3、通解题思路残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略酽锕极額閉镇桧猪訣锥。通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。知识网络二、 经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.（2007年5月上海市十一所实验示范校）（1）数列an和bn满足 （n=1，2，3），謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（1）求证bn为等差数列的充要条件是an为等差数列。 （2）数列an和cn满足，探究为等差数列
4、的充分必要条件。提示：设数列bn为分析：本题第（1）问的充要条件的解决可以分别设出等比、等差数列的通项；对探究问题我们通常采用的是先假设再论证。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。证明：（1）必要性 若bn为等差数列，设首项b1，公差d则an为是公差为的等差数列充分性 若an为等差数列，设首项a1，公差d则当n=1时，b1=a1也适合bn+1bn=2d， bn是公差为2d的等差数列 （2）结论是：an为等差数列的充要条件是cn为等差数列且bn=bn+1其中 （n=1，2，3） 点评：本题考查了等差、等比数列的基本知识，但解决起来有一定的难度，同时还需要对问题进一步深入下去。例题2.（2007年5月上海市宝山
5、区）已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当a0时，求数列的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。解：（1）(n2)由得，即从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）当n2时，是等比数列, (n2)是常数，3a+4=0，即 。（3）由（1）知当时，所以，所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1；当时，最小项为4a；当时，最
6、小项为4a或2a+1；当时，最小项为2a+1。 点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和例题3. （2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为： 12、1122、111222、 （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn . 分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）个记：A = , 则A=为整数= A (A+1) ， 得证 (2) 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。茕桢
7、广鳓鯡选块网羈泪。例题4.(2007年5月深圳市) 已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，即. （） （）， 当时，则， 对任意的， 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。考点三：数列与不等式的联系例题5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且
8、，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证：分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解： 又为锐角都大于0, , 又点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。例题6.（2007年5月江苏省淮安市）已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若数列满足，证明：是等差数列；（）证明：分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。渗釤呛俨匀谔鱉调
9、硯錦。解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（2），得，即得，即所以数列是等差数列（3）设，则 点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。例题7.（2007年5月2007浙江省五校） 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（） （）若则当n2时,.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解：()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n
10、=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = .由 两式可知: . 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量等的联系例题8.（2007年5月徐州市）已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1)写出、的值; (
11、2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，因为所以（2）因为所以,因为所以与同号，因为，即（3）当时，所以，所以 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题9.（2007年5月江苏卷）在平面直角坐标系中，已知三个点列An，Bn，Cn，其中，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的线上 （1）试用a与n表示； （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数
12、中求最小值的方式来解决。解：（1）又Bn在方向向量为（1，6）的直线上，（2）二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列an的最小项，对称轴 点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。例题10.（2007年5月重庆市高三联合诊断）已知，若数列an成等差数列. （1）求an的通项an; （2）设 若bn的前n项和是Sn，且分析：观察数列特征，利用等差数列基本条件，得出通项公式，进而求解.解：解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+21)dd=2, （2）
13、， 点评：本题考查等差、等比数列的性质，数列的求和，不等式的放缩，有一定的综合性。例题11.（2007年5月湖南省长沙雅礼中学）数列和数列（）由下列条件确定：（1），；（2）当时，与满足如下条件：当时，；当时，.解答下列问题：（）证明数列是等比数列；（）记数列的前项和为，若已知当时，求.（）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.分析：利用条件及第（）小题的结论提示，找出的关系，是入手的关键之处.解：（）当时，当时，所以不论哪种情况，都有，又显然，故数列是等比数列（）由（）知，故，所以所以，又当时，故.（）当时，由（2）知不成立，故，从而对于，有，于是，故，若，则，所以，这与是满足的最大整数矛盾.因此是满足的最小整数.而，因而，是满足的最小整数. 点评：本题难度较大，但试题分为三个小问，降低了坡度，是的入手较为容易，而且步步深入，前一问题的结论为后一问题做铺垫，考生在解题中要充分注意这种“便利条件”.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。例题12. (2007年5月宁波市三中) 已知数列中，（1）求； （2）求数列的通项； （3）设数列满足，求证：分析：条件中有类似于前n项和的形式出现，提示我们应该考虑anSnSn1(n2)解：（1）（2）得
