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1、椭圆定义及其标准方程（一）、教学目标根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：1、知识目标 ：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程的过程；掌握 a、b、c 之间的关系，会由其中的两个求出第三个；学会运用定义法和数形结合等方法解题2、能力目标 ： 让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力；培养学生在运用网络和数学工具探究和解决数学问题的能力；培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；3、情感目标： 培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风；增强学生审美体验，提高数学思维的情趣，给学
2、生以成功的体验；形成学习数学知识的积极态度。、重点、难点及关键1、重点 ：椭圆的定义和标准方程；2、难点 ：椭圆标准方程的推导；初步掌握椭圆方程求法；3、关键： 创设具体的椭圆的直观情景；结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。、教学方法： 启发探索式教学法四、教学手段及设施环境运用多媒体和实物投影仪、几何画板和网页辅助教学，在语音多媒体教室网络授课五、教学环节脉络：见后附图六、教学过程1、课前准备活动（1）指导学生使用“几何画板”，让学生了解几何画板的 基本操作，可以自行画出两点之间的线段并测量出线段的长 度，会通过拖动相关的点或者线段来观察相应测量值的变化 情况
3、；（2）复习圆的标准方程和求一般曲线方程的基本步骤；（3）让学生学会网页浏览的基本要求和方式，会上传或 下载一些网络上的信息。【学生回答问题】目的：了解并熟悉如何恰当建立直角坐标系来解决有关数学问题;使学生掌握利用网络查找资料的方法，培养学生的信息糸养;了解相关数学软件，培养学生自主创新意识。2、正课活动（1）、创设情景、引入概念【问】我们在物理和地理课上就已经知道， 在我们的银河系中，九大行星和一些彗星在绕太阳运转的轨迹是什么呢？【引入】点击下一 页，我们还可以看到一 些生活中的实用品也是 椭圆形的。我们再举一个实际 的例子，木匠做一个椭 圆的桌面，只需把二根 钉钉在木板上，然后用 一条绳子
4、分别栓在钉子 上，用粉笔把绳子拉直 了一转，就可以在木板 上画出一个漂亮的椭圆 出来。他是怎么做到的 呢？什么是椭圆呢？今天，我们就一起探究这其中的原委一一椭圆的定义与标准方程。【网页显示】平面内与两个定点F、F2的距离之和是常 数(大于I Fi F2 I )的 点的轨迹叫做椭圆。指导学生打开网页，看 在屏幕上展示卫星绕地球 的图片；目的：以学生熟悉的事物入手，来引入新课(2)椭圆定义及其探究【讨论】在几何画板中，为大家依次准备好了绳 子、钉子支撑点，并有相关的数据显示，请你在保 持绳子不变的前提下，转动支撑点，并试着回答以 下几个问题：【幻灯片1】1、点M形成的曲线是什么形状的？2、通过对图
5、形的观察，哪些长度发生了变化， 哪些没发生变化？再通过对数据的观察，验证你的 结论。3、MFi、MF2的距离的和与两个固定钉子 Fi、F2之间的距离的大小关系？为什么？【学生动手操作并回答问题丨【总结】大家在拖动点M后，可以看到得到的 曲线是椭圆，而且MFi、MF2的距离的和等于定长, 即绳子AB的长，又由三 角形两边之和大于第三边，我们可知，MFi、MF2的距离的和大于两个固定钉子Fi、F2之间的距离,由此我们可以得到椭圆的定义:目的：调动学生的对事物的求知欲望 在老师提示下， 让学生下载几何画板， 自己来探究出椭圆的定义 其中： F1 、F2 焦点八、八、|F1F2| 焦 距（一般用 2c
6、 表示）I MF1I + I MF2I=2a （a 是常数） a0 ，c0 在老师的指引下，逐渐寻找出椭圆的定义。目的： 让学生亲自动手实践，发现和观察其中的规律，得到结论，培养学生通过现象认识本质的能力。【问题】刚才两个钉 子的距离小于动点 M 到 两个钉子之间的距离的 和，那么如果相等或者 小于的话，动点 M 的轨 迹又是什么呢？【网页显示 】当 2a2c 时，到两 定点距离等于定长的点 的轨迹是一个椭圆；当 2a=2c 时，到两 定点距离等于定长的点 的轨迹是一条线段；当2a- 6 + V + (关整 理 得：a2- cx= a (x- c)2+ y2两边再平方并整理，得：/ 2 2、(
7、a -c )+由椭圆的定义可知，2a2c，即 ac，所以a2-c20,令b2= a2- c2(b 0)，则Fi(- c,0), F2(c,0)，又设M与两定点Fi,F2的距离的【学生回答】这是推导过程中的一个 难点，即如何处理两个根式 的化简。措施：网页上安排了一个“直接两边平方”的按钮， 可以显示相关内容，让学生 可通过点击进行对比学习。 目的：让学生在课堂有限的 时间内，通过观察来比较这 两种化简的优劣，从而渗透“繁中求简”的思想方程可简化为：b2x2a2y2=a2b2，等式两边同除以a2b2，得焦点在x轴上的椭圆标准方程直接两边平方推导(接)：将这个方程两边同时分别平方，得(x c)2y
8、22 (x c)2y2(x- c)2y22 2 2(x _c)y = 4a整理并移项 c2得2a2 - -, (x c)2 y_ (x-c)2 y2两边再平方，得2- 2a2)22(x2y2)(c2-2a2)=(x2_c2)2(xy cy)2(xy _cy)2y4整理得：(a2- c2)x2+ a2y2= a2(a2- c2)【下同】【问题】好，同学们抬头，请问：【幻灯片2】1、在处理两个根式化简的过程中，在两种方案中那种更优良一些？为什么？2、焦点在x轴上的椭圆标准方程是什么？ 为什么在最后的代换中要求b0 ？3、焦点在x轴上的椭圆标准方程中，x2项和y2项的分母分别是什么？哪个大？【评述】
9、推导过程中 的变换和最后的化简， 无不体现出数学对过程 和结果“简单美”和“对 称美”的不懈追求。正 是这种“美”，也赋予了 参数 a、b 、c 在椭圆图 形上的意义。那么我 们就一起来 看一下，参数 a、 b、c 在椭圆上表示哪一段？ 它们之间在图形上满足 的关系？【结论】有刚才我们 拖动的情况可以得到：a椭圆与 x轴 的两个交点间距离的一 半；b椭圆与y轴 的两个交点间距离的一巩固学生的自学成果，渗透焦点位置与方程表示之间半；椭圆焦距的一半导过程和最后结果中,与焦点在x轴的椭圆标 准方程有什么区别；2、焦点在y轴上的 椭圆中，各个参数的几 何意义又是什么？请用 几何画板进行验证。3、对比焦
10、点在x轴 和焦点在y轴上的椭圆 标准方程，你是否能直 接通过方程本身来判断 焦点的位置吗？同你周 围的同学共同探讨一 下，得出你的结论，并 完成“下一页”中的判 断题。【学生自行阅读、 讨论、动手探究并回答 问题】由图所示，在 MF1F2中，有a2=b2+c2，则b2= a2c2【讲述】由此可见，我们原先来令b2 = a2 c2 是有一定道理的，不仅是代数方面简洁的需要，而 且它本身就具有明显的几何意义。2 2【过渡】方程笃笃(a b 0)叫做焦点在 a bx轴上的椭圆标准方程，焦点是Fi (-c,0), F2(c,0),c2=a2-b2，那如果以 F-F?所在直 线为y轴，线段Fi F2的垂
11、直平分线为x轴，建立直角 坐标系，焦点是Fi(0,-c),F2(0,c)，椭圆的方程又是 什么呢？请自行阅读网页，并思考下面的问题：【幻灯片3】1、焦点在y轴上的椭圆标准方程是什么？在推让学生自行点击网页中 的“焦点在x轴的标准方程” 和“焦点在 y轴的标准方 程”，通过瞬间的变化，发 现规律，得到椭圆方程，并 让其自行验证相关问题，加深印象。目的：培养学生运动、变化 的观点，渗透数学中的类比 思想。也起到温故而知新的这部分以老师讲述为主，在后面得到焦点在y轴椭圆标准作用。方程后，再让学生进行体验。判断题：【网页显措施：打开“椭圆定义探究”使用过的几何画板，建立起直示】角坐标系，拖动绳子 AB发现a的意义，将动点 M拖至y判断下列椭轴上，利用等腰三角形，发现b的几何意义。圆的焦点的位置目的：让学生有直观感受，为后文做必要的铺垫。2 2X y=1100642 2Xy. 1925【点评】椭圆的标准方程中，x2与y2项的分母哪一个大，贝U焦点就在哪一个轴上。到这两个定点的距离的和等于20,写出动点M的轨迹方程。题目二：方程2 2x y 1表示10 -k k -5点在y轴上的椭圆，则k 的取值范围是(6)课堂检测 【师】请打开“课堂 内外”，点击“随堂练 习”，请迅速完成这六个 题目，完
