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1、第3章 空间向量与立体几何章末总结 苏教版选修2-1知识点一空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。例1 沿着正四面体O-ABC的三条棱、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值聞創沟燴鐺險爱氇谴净。知识点二证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直
2、的定理，再通过向量运算来解决残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法证明MN面A1BD.例3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60.例4正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。知识点三空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出
3、(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解，体现了向量法极大的优越性彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例5如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14，M为B1C1上一点且B1M2，点N在线段A1D上，A1DAN.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（1）求cos，；厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值知识点四空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量
4、与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例6如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAAD2，M、N分别是AB、PC的中点(1)求二面角PCDB的大小；(2)求证：平面MND平面PCD；(3)求点P到平面MND的距离章末总结重点解读例1解如图所示，用a，b，c分别代表棱、上的三个单位向量，鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。则f1a，f22b，f33c，则ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012 cos 601423625，|f|5，即所求合力的大小为5.且cosf
5、，a籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。，同理可得：cosf，b，cosf，c.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。例2证明(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。又，铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。.BDB1D1.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。同理可证A1BD1C，又BDA1BB，B1D1D1CD1，所以平面A1BD平面B1CD1.(2)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。()坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。()蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。设a，b，c，綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。则(abc)又ba，驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。(abc)(ba)猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。(b2a2cbca)又A1AAD，A1AAB，cb0，ca0.又
6、|b|a|，b2a2，b2a20.0，MNBD.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。同理可证，MNA1B，又A1BBDB，MN平面A1BD.例3解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)则(1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)又由0，0知，为平面BB1D1D的一个法向量構氽頑黉碩饨荠龈话骛。设AP与平面BB1D1D所成的角为，则sin |cos，|輒峄陽檉簖疖網儂號泶。.依题意得sin 60，尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。解得m.故当m时，直线AP与平面BDD1B1所成角为
7、60.例4证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E、D1(0,0,1)、识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。F、A(1,0,0)凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。(1,0,0)，恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量由.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。令y11，得m(0,1，2)又由，阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.例5解(1)建立空间直角坐标系(如图)则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)氬
8、嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。(5,2,4)，(0,8，4)016160，釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。.cos，0.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。(2)A1DAM，A1DAN，且AMANA，平面ANM，(0,8，4)是平面ANM的一个法向量又(0,8,0)，|4，|8，64，谚辞調担鈧谄动禪泻類。cos，.嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。AD与平面ANM所成角的余弦值为.(3)平面ANM的法向量是(0,8，4)，平面ABCD的法向量是a(0,0,1)，cos，a.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.例6(1)解PA平面ABCD，由ABCD是正方形知ADCD.CD面PAD，PDCD.PDA是二面角PC
9、DB的平面角PAAD，PDA45，即二面角PCDB的大小为45.(2)如图，建立空间直角坐标系，则P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,0,0)，N是PC的中点，N(1,1,1)，(0,1,1)，(1,1，1)，(0,2，2)设平面MND的一个法向量为m(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n(x2，y2，z2)鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。m0，m0，纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。即有令z11，颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。得x12，y11.m(2，1,1)同理，由n0，n0，濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。即有銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。令z21，得x20，y21，n(0,1,1)mn20(1)1110，mn.平面MND平面PCD.(3)设P到平面MND的距离为d.由(2)知平面MND的法向量m(2，1,1)，m(0,2，2)(2，1,1)4，|m|4，又|m|，d.挤貼綬电麥结鈺贖哓类。即点P到平面MND的距离为.- 8 -
