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1、极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且ax1x0x2x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；（2） x1+x22x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0右偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx=0（fx=m)的解分别为x1,x2且ax1x2b.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（1） 若fx1f(2x0-x2)则x1+x22x0即函数f(x)在区间
2、（a,b）上极大值点x0右偏；（即峰偏右）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（2） 若fx1x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0左偏;（即谷偏左）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（3） 若fx1f(2x0-x2)则x1+x22x0即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点x0左偏;（即峰偏左）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（4） 若fx1f(2x0-x2)则x1+x22x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0右偏;（即谷偏右）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 x=x1+x22 x=x1+x22y=mxy=f(x)x=x0 x=x0拓展：1） 若，则的图象关于直线对称；特别地，若（或f(x)=f(2a-x)），则的图
3、象关于直线对称2） 若函数f(x)满足x(0,a)有下列之一成立：f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)）f(a+x)(f(x)f(2a-x)厦礴恳蹒骈時盡继價骚。f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)()f(2a-x)茕桢广鳓鯡选块网羈泪。则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。性质：1)的图象关于直线对称若x1,x2(0,2a)x1x2则x1+x2=2afx1=f(x2),(fx1+f(x2)=0,fx1
4、+x22=0);籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若x1,x2(0,2a)x1x2则fx1=f(x2)则x1+x22a,及fx1+x220預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。极值点偏移解题步骤：求函数f(x)的极值点x0；构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0-x) (F(x)=f(x0-x)-f(x0+x),F(x)=f(x+2x0)-f(-x) , F(x)=f(x)-f(2x0-x)确定F(x)单调性渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。结合F(0)=0（F(-x0)=0,F(x0)=0)判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0-x)(f(x+2x0)与f(-x);f(x)
5、与f(2x0-x)）的大小关系;铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。答题模式：已知函数y=f(x)满足fx1=f(x2),x0为函数y=f(x)的极值点,求证：x1+x2F(0)=0，从而得到x0时f(x+x0)f(x0-x)擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。1.（2016年全国I高考）已知函数有两个零点.设x1，x2是的两个零点，证明：+x21时，f(x)g(x)坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 ()如果且证明证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(
6、x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。3.已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）0解：（I）（i）若单调增加.（ii）若且当所以单调增加，在单调减少. （II）设函数则当.故当，8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知，4已知函数fx=xlnx-12mx2-x (mR)若f(x)有两个极值
7、点x1,x2且x1e2買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。5.已知函数fx =ex-ax(aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x12綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。x1+x22xx1x21（已知函数fx =ex-ax+a (aR)，其图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)两点且x1x2，求证：f(x1x2)1)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1x2求证：x1+x207.已知函数fx =a-1x-lnx(aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1x2求证：2x1+x23ea-1-1猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。8.已知函数fx =xlnx f(x1)=fx2且0x1x21求证:2ex1+x21锹籁饗迳琐筆襖鸥
8、娅薔。1x1+x22e9已知函数fx =lnx-ax(aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1e210.已知函数fx =x-eax (a0) f(x1)=fx2=0且x1x2求证:x1x2ae構氽頑黉碩饨荠龈话骛。11.已知函数fx =lnx-ax-b(a,bR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1x2求证：x1x20尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。13.已知函数fx =alnx-x2(aR)令gx=fx+ax,g(x)在(0,3)单调递增求a范围;当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)且0x10,0且满足+=1证明:h(x1+x2)1时讨论f(x)
9、的单调性，并确定其极值;若对xe,e2都有f(x)4lnx,求k范围;若x1x2且f(x1)=fx2证明：x1x20)讨论fx的单调性;f(x)的极值点为x若存在x1,x2(0,+)且x1x2求证: x1+x22x;凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。16.已知函数fx=x2-1+aln1-x,(aR);讨论fx的单调性;若f(x)存在两个极值点x1,x2，x1f(x2)x1 ;恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。17.已知函数fx=x+alnx与g(x)=3-bx在(1,1)处有相同切线；若y=2(x+n)与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；若Fx=3x-m2+m2gx-2fx有两个极值点x1,x2，x1x2证明：
10、Fx2x2-1；鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。18.已知函数gx=-ax2+(2-a)x+lnx, (aR)讨论fx的单调性;若f(x)=g(x)+(a+1) x2-2x有两个不同零点x1,x2,证明：f(x1+x22)0;硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。19.已知函数gx=xe2-ax , (aR);讨论gx的单调性;若f(x)=lng(x)-ax2与y=m,(mR)图象有两个交点A、B,线段A、B中点为x，证明：f(x)0;阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。20.已知函数fx=ax32-lnx-23图象的一条切线为x轴；求a值；令g(x)=fx+f(x)若存在不同x1,x2满足 gx1=g(x2),证明: x1x21氬
11、嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。21.已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；若xf(x)ax-1对x(0,+)恒成立,求a最大值；设f(x)Fx=1在(1,+)的实根为x，mx=xfx (1 x) 若在区间(1,+)上存在mx1=m(x2),求证：x1+x22x釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。22已知函数fx=ex-12x2-ax, (aR)；若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；如果函数g(x)=f(x)-(a-12)x2恰有两个不同的极值点x1,x2,证明: x1+x22ln2a;怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。23已知函数f
12、x=x2-(a-2)x-alnx (aR)；讨论fx的单调性;设函数gx=-x3-ax2+a-a24若,(0,a】使得f-f()024.已知函数fx=mx+1+nlnx m,n为常数，在x=1处的切线方程为x+y-2=0若x1e,1使得对t12,2上f(x)t3-t2-2at+2恒成立求实数a的取值范围；嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。若g(x)=f(x)-ax-2x+1 (aR) 有两个不同零点x1,x2,求证：x1x2e2;熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。25已知函数fx=-x2-ax+2lnx;当a3时讨论y=f(x)在12,+）上的单调性；y=f(x)有两个不同零点x1,x2,且x1x2求证：f(x1+2x23)0鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
