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1、高中数学知识要点第一章集合与简易逻辑第一节：集合：1、集合的基本概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，如果a是集合A的元素，就说a属于A记作aA，如果a不是集合A的元素就说a不属于A，记作aA或aA。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2、集合中元素的三个性质：确定性，互异性，无序性。常称此为集合的三要素。3、常用的数集的符号：（1）自然数集（即非负整数集）：N，（2）正整数集：N，或N，（3）整数集合：Z，（4）有理数集：Q，（5）实数集：R。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。4、不含任何元素的集合叫空集，记作：, 只含一个元素的集合叫做单元素集。5、集合的分类：根据集合中
2、元素的多少分为无限集，有限集，空集。6、集合的表示方法：（1）列举法：在里将元素一一列出。（2）描述法：常有两种方式：如四边形x|x是四边形注：下面表示不妥实数集、所有实数（3）图示法（韦恩法）：用封闭的曲线表示。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。第二节：子集，全集，补集：1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB（或说A包含于B），也可记为BA，此时说A是B的子集，任何一个集合是它本身的一个子集，即AA。规定空集是任何集合的子集，即A，如果AB，且BA，则AB。如果AB且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作酽锕极額閉镇桧猪訣锥。空集是
3、任何非空集合的真子集。2、含n个元素的集合A的子集有2个，非空子集有21个，非空真子集有22个。3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合称为全集，通常用U表示。4、补集（也叫余集）：设S是一个集合，A是S的一个子集，则由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作CA彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。第三节：交集、并集：1、交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，读作A交B。即ABx|xA且xB謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，读作A并B。即ABx|xA或
4、xB厦礴恳蹒骈時盡继價骚。3、重要性质：（1）AAA，AAA，A，AA， A，AU（2）ABA，ABB，AAB，BAB，（3）（AB）（A）（B），（AB）（A）（B）（4）ABAAB，ABA BA第四节：含绝对值不等式的解法：1、三个结论（1）|x|a的解集为x|axa(2) |x|a的解集为x|xa或x-a(3)0a|x|b的解集为x|bx-a,axb茕桢广鳓鯡选块网羈泪。2、去掉多个绝对值符号的常用方法有：（1）分段讨论法（2）利用绝对值的定义（3）数形结合或利用公式|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|，鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。第五节：不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去
5、分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若a0,则x;若a0,则x;籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2、一元二次不等式的解法：设a0,x,x方程ax+bx+c=0的两实根，且xx，一元二次不等式的解集如下表：預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。判别式的符号ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c00xxx或x xx x x或 x xx x x xx x x x0x x-Rx x=-0RR3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶
6、次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。4、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。5、 对含字母的不等式要注意进行讨论，而且讨论要合理，分类要恰当，层次要清楚。第六节：逻辑联结词：1、逻辑联结词与命题、命题的分类：“或”“且”“非”这些词叫逻辑联结词。判断一件事情的语句叫命题。不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。2、复合命题的形式及真值表：（1）“非P”的复合命题的真假与
7、命题“P”的真假相反。（2）“P且Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为真时才为真，否则为假，（3）“P或Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为假时才为假，否则为真。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。第七节：四种命题：1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p或q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q，（2）逆命题：若q则p，（3）否命题：若p 则q ，（4）逆否命题：若q 则p，坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。互为逆否互否互否互逆逆命题；原命题3、四种命题的相互关
8、系：互逆逆否命题否命题4、反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。用反证法证题的步骤是：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立，（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知或学过的定理、公理等相矛盾的结论。（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。常见情况的反设：原结论是（一定是）都是（全是）（）至少有一个至多有一个存在反设不是（一定不是）不都是（）一个也没有（都不是）至少有2个不存在反设就相当于添加了一个已知条件，因此更便于推理论证。5、要
9、注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。第八节：充分条件与必要条件：1、一般地，如果已知pq,则称p是q的充分条件，q是p的必要条件，p的一个必要条件是q,q的一个充分条件是P。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。2、如果既有pq又有qp，记作pq,这时p是q的充分必要条件，简称为充要条件。第二章函数第一节：函数：1、映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：AB，驅踬髏彦浃绥
10、譎饴憂锦。2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。3、映射f：AB的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个，（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就
11、是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数的集合，f：xy是从A到B的城市污染，那么，从A到B的f：AB，叫做A到B的函数，y=f(x),其中xA,yB,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合CB構氽頑黉碩饨荠龈话骛。5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。輒峄陽檉簖疖網儂號泶。6、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的
12、被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f(x)的定义域是xM,g(x) 的定义域是xN，求y=fg(x)的定义域时，则只需求满足的x的集合。设y=fg(x)的定义域为P，则PN。尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。7、求函数值域的方法：（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如的函数。（2）利用函数的图象即数
13、形结合的方法。（3）利用均值不等式，（4）利用判别式，（5）利用换元法（如三角换元），（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式，（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。第二节：函数的表示方法：1、函数的表示方法：（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系式。（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。凍鈹鋨劳臘锴痫婦
14、胫籴。2、分段函数在其定义域的不同子集上，其对应关系分别用几个不同的式子来表示，这种表示形式的函数叫做分段函数。恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。3、求函数解析式的常用方法有：（1）待定系数法：如果已知一个函数的类型如一次函数：可设y=kx+b，二次函数：可设y=ax+bx+c。（2）换元法：如已知f(2x+1)=4x+1，求f(x)的解析式？鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。（3）替换后解方程组。第三节：函数的单调性：1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x,xD,当xx时，都有f(x) f(x)，则称f(x)是区间上的增函数，当x f(x)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。2、判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法，（1）定义法：其步骤是：1）任取x，xD，且x0时，f(x)在R上是增函数。2）当ko时，函数f(x)的图象开口向上，在（，）上是减函数，在，）上是增函数
