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1、高中数学必修2立体几何1如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1,B1C1的中点问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由解析:(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MNAC,因此AM与CN不是异面直线(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。探究拓展:解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手,经过推理、演算、变形等),如第(1)问,还有假设法,特例法,有时证明两直线异面用直线法较难说明问题,这时可用反证法,即假设两直线共面,由这个假设出
2、发,来推证错误,从而否定假设,则两直线是异面的聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解:(1)不是异面直线理由如下:M、N分别是A1B1、B1C1的中点,MNA1C1.又A1AD1D,而D1D綊C1C,A1A綊C1C,四边形A1ACC1为平行四边形A1AAC,得到MNAC,A、M、N、C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内,则B平面CC1D1,C平面CC1D1.BC平面CC1D1,这与在正方体中BC平面CC1D1相矛盾,假设不成立,故D1B与CC1是异面直线2如下图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为AB的中点,N为B
3、B1的中点,O为面BCC1B1的中心残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);(2)求PQ的长(不必证明)解析:(1)由ONAD知,AD与ON确定一个平面.又O、C、M三点确定一个平面(如下图所示)三个平面,和ABCD两两相交,有三条交线OP、CM、DA,其中交线DA与交线CM不平行且共面DA与CM必相交,记交点为Q.OQ是与的交线连结OQ与AN交于P,与CM交于Q,故OPQ即为所作的直线(2)解三角形APQ可得PQ.3如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBCB1Ba,ABC90,D、E分别为BB1、AC1的中点酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(1)
4、求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值;(2)证明:DE为异面直线BB1与AC1的公垂线;(3)求异面直线BB1与AC1的距离解析:(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1BB1,所以A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。又ABBCB1Ba,ABC90,所以A1C1a,tanA1AC1,即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为.(2)证明:解法一:如图,在矩形ACC1A1中,过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1,连结BM,B1M1,则BB1綊MM1.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。又D、E分别是BB1、MM1的中点,可得DE綊BM.在直三棱柱
5、ABCA1B1C1中,由条件ABBC得BMAC,所以BM平面ACC1A1,故DE平面ACC1A1,所以DEAC1,DEBB1,即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线解法二:如图,延长C1D、CB交于点F,连结AF,由条件易证D是C1F的中点,B是CF的中点,又E是AC1的中点,所以DEAF.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。在ACF中,由ABBCBF知AFAC.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,所以AFAA1,故AF平面ACC1A1,故DE平面ACC1A1,所以DEAC1,DEBB1,即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离,由于A
6、BBCa,ABC90,所以DEa.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。4如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O,M分别是BD1,AA1的中点(1)求证:MO是异面直线AA1和BD1的公垂线;(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值;(3)若正方体的棱长为a,求异面直线AA1与BD1的距离解析:(1)证明:O是BD1的中点,O是正方体的中心,OAOA1,又M为AA1的中点,即OM是线段AA1的垂直平分线,故OMAA1.连结MD1、BM,则可得MBMD1.同理由点O为BD1的中点知MOBD1,即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线(2)由于AA1BB1,所以B1BD1就是异面直线AA1和BD1所
7、成的角在RtBB1D1中,设BB11,则BD1,所以cosB1BD1,故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知,所求距离即为线段MO的长,5如下图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC.过BD作与PA平行的平面,交侧棱PC于点E,又作DFPB,交PB于点F.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(1)求证:点E是PC的中点;(2)求证:PB平面EFD.证明:(1)连结AC,交BD于O,则O为AC的中点,连结EO.PA平面BDE,平面PAC平面BDEOE,PAOE.点E是PC的中点;(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD,PDDC,PDC是等腰直角三
8、角形,而DE是斜边PC的中线,DEPC,又由PD平面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,CDBC,BC平面PDC.而DE平面PDC.BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC,DEPB,又DFPB且DEDFD,所以PB平面EFD.6如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段点A、B在l1上,C在l2上,AMMBMN.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(1)求证ACNB;(2)若ACB60,求NB与平面ABC所成角的余弦值证明:(1)如图由已知l2MN,l2l1,MNl1M,可得l2平面ABN.由已知MNl1,AMMBMN,可知ANNB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的
9、射影,ACNB.(2)RtCNARtCNB,ACBC,又已知ACB60,因此ABC为正三角形RtANBRtCNB,NCNANB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心连结BH,NBH为NB与平面ABC所成的角預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。在RtNHB中,cosNBH.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。7如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PA平面ABCD,且PA2AB.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。(1)求证:平面PAC平面PBD;(2)求二面角BPCD的余弦值解析:(1)证明:PA平面ABCD,PABD.ABCD为正方形,ACBD.BD平面PAC,又BD在平面BPD内,平面PAC平面
10、BPD.(2)在平面BCP内作BNPC,垂足为N,连结DN,RtPBCRtPDC,由BNPC得DNPC;BND为二面角BPCD的平面角,在BND中,BNDNa,BDa,擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。cosBND.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。8如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AEFC1B1G1,H是B1C1的中点坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。(1)求证:E、B、F、D1四点共面;(2)求证:平面A1GH平面BED1F.证明:(1)连结FG.AEB1G1,BGA1E2,BG綊A1E,A1G綊BE.C1F綊B1G,四边形C1FGB1是平行四边形FG綊C
11、1B1綊D1A1,四边形A1GFD1是平行四边形A1G綊D1F,D1F綊EB,故E、B、F、D1四点共面(2)H是B1C1的中点,B1H.又B1G1,.又,且FCBGB1H90,B1HGCBF,B1GHCFBFBG,HGFB.又由(1)知A1GBE,且HGA1GG,FBBEB,平面A1GH平面BED1F.9在三棱锥PABC中,PA面ABC,ABC为正三角形,D、E分别为BC、AC的中点,设ABPA2.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。(1)求证:平面PBE平面PAC;(2)如何在BC上找一点F,使AD平面PEF,请说明理由;(3)对于(2)中的点F,求三棱锥BPEF的体积解析:(1)证明:PA面ABC,B
12、E面ABC,PABE.ABC是正三角形,E为AC的中点,BEAC,又PA与AC相交,BE平面PAC,平面PBE平面PAC.(2)解:取DC的中点F,则点F即为所求E,F分别是AC,DC的中点,EFAD,又AD平面PEF,EF平面PEF,AD平面PEF.(3)解:VBPEFVPBEFSBEFPA2.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。10(2009天津,19)如图所示,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M为CE的中点,AFABBCFEAD.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;(2)求证:平面AMD平面CDE;(3)求二面角ACDE的余弦值解答:(1)
13、解:由题设知,BFCE,所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点,连结EP,PC.因为FE綊AP,所以FA綊EP.同理,AB綊PC.又FA平面ABCD,所以EP平面ABCD.而PC,AD都在平面ABCD内,故EPPC,EPAD.由ABAD,可得PCAD.设FAa,则EPPCPDa,CDDEECa.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。故CED60.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明:因为DCDE且M为CE的中点,所以DMCE.连结MP,则MPCE.又MPDMM,故CE平面AMD.而CE平面CDE,所以平面AMD平面CDE.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。(3)设Q为CD的中
14、点,连结PQ,EQ.因为CEDE,所以EQCD.因为PCPD,所以PQCD,故EQP为二面角ACDE的平面角锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。由(1)可得,EPPQ,EQa,PQa.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。于是在RtEPQ中,cosEQP.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。所以二面角ACDE的余弦值为.11(2009重庆)如图所示,四棱锥PABCD中,ABAD,ADDC,PA底面ABCD,PAADDCAB1,M为PC的中点,N点在AB上且ANNB.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。(1)求证:MN平面PAD;(2)求直线MN与平面PCB所成的角解析:(1)证明:过点M作MECD交PD于E点,连结AE.ANNB,ANABDCEM.又EMDCAB,EM綊AN,AEMN为平行四边形,MN