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1、高中数学必修2立体几何1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MNAC，因此AM与CN不是异面直线(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出
2、发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：(1)不是异面直线理由如下：M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1AD1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形A1AAC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，这与在正方体中BC平面CC1D1相矛盾，假设不成立，故D1B与CC1是异面直线2如下图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为B
3、B1的中点，O为面BCC1B1的中心残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长(不必证明)解析：(1)由ONAD知，AD与ON确定一个平面.又O、C、M三点确定一个平面(如下图所示)三个平面，和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面DA与CM必相交，记交点为Q.OQ是与的交线连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故OPQ即为所作的直线(2)解三角形APQ可得PQ.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCB1Ba，ABC90，D、E分别为BB1、AC1的中点酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(1)
4、求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离解析：(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，所以A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。又ABBCB1Ba，ABC90，所以A1C1a，tanA1AC1，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE綊BM.在直三棱柱
5、ABCA1B1C1中，由条件ABBC得BMAC，所以BM平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEBB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线解法二：如图，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DEAF.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。在ACF中，由ABBCBF知AFAC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AFAA1，故AF平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEBB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于A
6、BBCa，ABC90，所以DEa.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，M分别是BD1，AA1的中点(1)求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离解析：(1)证明：O是BD1的中点，O是正方体的中心，OAOA1，又M为AA1的中点，即OM是线段AA1的垂直平分线，故OMAA1.连结MD1、BM，则可得MBMD1.同理由点O为BD1的中点知MOBD1，即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线(2)由于AA1BB1，所以B1BD1就是异面直线AA1和BD1所
7、成的角在RtBB1D1中，设BB11，则BD1，所以cosB1BD1，故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO的长，5如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC.过BD作与PA平行的平面，交侧棱PC于点E，又作DFPB，交PB于点F.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(1)求证：点E是PC的中点；(2)求证：PB平面EFD.证明：(1)连结AC，交BD于O，则O为AC的中点，连结EO.PA平面BDE，平面PAC平面BDEOE，PAOE.点E是PC的中点；(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC，PDC是等腰直角三
8、角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC，又由PD平面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，CDBC，BC平面PDC.而DE平面PDC.BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB，又DFPB且DEDFD，所以PB平面EFD.6如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AMMBMN.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(1)求证ACNB；(2)若ACB60，求NB与平面ABC所成角的余弦值证明：(1)如图由已知l2MN，l2l1，MNl1M，可得l2平面ABN.由已知MNl1，AMMBMN，可知ANNB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的
9、射影，ACNB.(2)RtCNARtCNB，ACBC，又已知ACB60，因此ABC为正三角形RtANBRtCNB，NCNANB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心连结BH，NBH为NB与平面ABC所成的角預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。在RtNHB中，cosNBH.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。7如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA平面ABCD，且PA2AB.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。(1)求证：平面PAC平面PBD；(2)求二面角BPCD的余弦值解析：(1)证明：PA平面ABCD，PABD.ABCD为正方形，ACBD.BD平面PAC，又BD在平面BPD内，平面PAC平面
10、BPD.(2)在平面BCP内作BNPC，垂足为N，连结DN，RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC；BND为二面角BPCD的平面角，在BND中，BNDNa，BDa，擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。cosBND.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。8如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.证明：(1)连结FG.AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E，A1G綊BE.C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形FG綊C
11、1B1綊D1A1，四边形A1GFD1是平行四边形A1G綊D1F，D1F綊EB，故E、B、F、D1四点共面(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF，B1GHCFBFBG，HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，平面A1GH平面BED1F.9在三棱锥PABC中，PA面ABC，ABC为正三角形，D、E分别为BC、AC的中点，设ABPA2.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。(1)求证：平面PBE平面PAC；(2)如何在BC上找一点F，使AD平面PEF，请说明理由；(3)对于(2)中的点F，求三棱锥BPEF的体积解析：(1)证明：PA面ABC，B
12、E面ABC，PABE.ABC是正三角形，E为AC的中点，BEAC，又PA与AC相交，BE平面PAC，平面PBE平面PAC.(2)解：取DC的中点F，则点F即为所求E，F分别是AC，DC的中点，EFAD，又AD平面PEF，EF平面PEF，AD平面PEF.(3)解：VBPEFVPBEFSBEFPA2.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。10(2009天津，19)如图所示，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为CE的中点，AFABBCFEAD.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)求证：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解答：(1)
13、解：由题设知，BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点，连结EP，PC.因为FE綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD内，故EPPC，EPAD.由ABAD，可得PCAD.设FAa，则EPPCPDa，CDDEECa.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。故CED60.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明：因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连结MP，则MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。(3)设Q为CD的中
14、点，连结PQ，EQ.因为CEDE，所以EQCD.因为PCPD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。由(1)可得，EPPQ，EQa，PQa.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。于是在RtEPQ中，cosEQP.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。所以二面角ACDE的余弦值为.11(2009重庆)如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDCAB1，M为PC的中点，N点在AB上且ANNB.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。(1)求证：MN平面PAD；(2)求直线MN与平面PCB所成的角解析：(1)证明：过点M作MECD交PD于E点，连结AE.ANNB，ANABDCEM.又EMDCAB，EM綊AN，AEMN为平行四边形，MN
