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1、题目 第十章排列、组台、二项式定理排列组合的综合应用高考要求1进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法解题思路归纳解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：聞創沟燴鐺險爱氇谴净。特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这
2、些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个（答案：30个）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种（答案：350）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分；彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑
3、。插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_ (答案:3600)謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种（答案：240）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍例如：从
4、集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条（答案：30）茕桢广鳓鯡选块网羈泪。剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板），有种方法鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2个、3个、4个元素的错位排列容易计算
5、关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。5个元素的全排列为：；剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)种、恰好有2对球盒同号(3个错位的)种、恰好有1对球盒同号(4个错位的)种渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 120-1-44用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、元素的错位排列问题容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法题型讲解例1将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1
6、人得1 本；分给甲、乙、丙3人，每人2本；分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；分成3堆，每堆2 本分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本分析：分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题解：是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；是指定人应得数量的均匀问题：方法数为；是分堆的非均匀问题（与等价）：方法数为；是分堆的均匀问题：方法数为；是部分均匀地分给人的问题：方法数为；是部分均匀地分堆的问题：方法数为点评：以上问题归纳为分给人（有序）
7、分成堆（无序）非均匀均匀部分均匀见上表中的三类六种不同的分书问题的模型；要将问题转化为六种分书模型来解决例2 求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：另法：用捆绑与剔除相结合：（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：（4）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解: 例3 有13名医生,其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医
8、疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。(1)(2);(3);(4);其中能成为P 的算式有_种分析: 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法,故为组合问题用直接法解:选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故(2)正确; 用间接法解: 不考虑限制条件,选派方法有种,需剔除的有1男4女,5女两类,故(3)正确因此结论为: (2)(3)点评：本例要特别防止误选(4)例4对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种擁締凤袜备訊顎
9、轮烂蔷。解:在各次测试结果中交换其中两者的顺序,成为两种不同的测试方法,因此是排列问题故所有测试方法是6件不同正品取出1件与4件次品排成一列且最后一件是次品： =576种贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。例5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为_坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 解:实质是7个节目的排列,因原定的5个节目顺序不改变,故排这5个节目是一个组合,有种方法,在排新插入的两个节目有种方法,故蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。点评：分清是排列还是组合问题排列与组合的根本区别是元素之间有否顺序若元素之间交换次序后是两种不同的情形,则是排列问题
10、;若元素之间交换次序后是相同的情形,则是组合问题;另外若元素之间已经规定了顺序,则仍是组合问题買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。例6 从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有( )种綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。ABCD解: 先排第1号瓶,从甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有种方法,再排其余各瓶,有种方法,故不同的放法共有故选C驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。点评：这样解分步合理、过程简捷但本题更容易想到先从10种不同的作物种子中选出6种,然后排列由于选出的6种种子中是否含甲、乙不确定,导致后继排列也不确定,这时就要分类了选出的6种种子中只含甲
11、或只含乙的不同放法都为种,选出的6种种子中,同时含甲与乙的不同放法有种;选出的6种种子中,都不含甲与乙的不同放法有种故不同的放法共有种猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。例7 将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有_种锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。解: 根据同种作物最多能种植的块数分类讨论:(1) 当其中有一种作物种三块时,选取这种作物有种,它们只能种在两端及中间位置,有不同的种植方法种, (2)当其中两种作物各种两块时,选取这两种作物有种,然后选定其中一种作物,其不同种植方式有以下六类:123456第(1)(2)(5)(6)类的种法都是2种;第(3
12、)类有1种种法;第(4)类有3种种法,于是这种情况有种种法,構氽頑黉碩饨荠龈话骛。故不同的种植方法共42种例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_种解: 本题直接计数很困难,用间接法,从10个点中取4个有种方法,剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种数为;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有种点评：确定用分类法、分步法、还是间接法计数为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段
13、,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数輒峄陽檉簖疖網儂號泶。例9从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有_种尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。解:按要求从4种蔬菜品种中选出3种有种方法,种在不同土质的三块土地上有种方法,不同的种植方法共有种例10 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为_解:选取两个不放球的盒子,有种选法；把4个球分成两堆,可分为两堆各为1,3个或两堆都有2个球这两类,有种;再把两堆分别放入两个盒子里有种,识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。所求放法总数为种点评：如何实施先组合,后排
14、列对常见的排列组合综合问题,应先组合,后排列,可分为以下两类例11 把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有_种凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。解:先给编号为2、3的三个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。因此，不同的放球方法有11010种例12 某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。解问题等价于把10个相同小球放入8个
15、盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题将10个小球串成一串，截为7段有种截断法，对应放到8个盒子里因此，不同的分配方案共有36种 点评： 剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板），有种方法硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。例13 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种点评：错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。例14 将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线
