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1、第四节 三重积分的计算,一 问题的提出 二 直角坐标系下三重积分的计算 三 柱面坐标系下三重积分的计算 四 球面坐标系下三重积分的计算,一、问题的提出,例 非均匀物体的质量,直角坐标系下将三重积分化为三次积分,二、直角坐标系下三重积分的计算,1. 先“一”后“二”（截线法）,解：,解：,2. 先“二”后“一”（截面法）,截面法的一般步骤：,(1) 把积分区域 向某轴（例如 轴） 投影，得投影区间 ；,对 用垂直 轴且平行 平面的平面去截 得截面,计算二重积分 其结果为 的函数 ；,解：,原式,规定：,注意：柱面坐标系就是平面 极坐标系加上 轴。,三、柱面坐标系下三重积分的计算,1. 柱面坐标系
2、,柱面坐标与直角坐标的关系为：,柱面坐标系的三坐标面是,2. 柱面坐标系下三重积分的计算,利用柱面坐标系的三组坐标 面来分割积分区域，如图，,体积元素为,解：,球面与抛物面交线为,解：,所围成的立体如图，,所以,四、球面坐标系下三重积分的计算,1. 球面坐标系,规定：,如图，三坐标面分别为,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,2. 球面坐标系下三重积分的计算,球面坐标系中的体积元素为,解：,解：,解法一：采用球面坐标,解法二：采用柱面坐标,补充 利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意,. 积分区域关于坐标面的对称性；,. 被积函数在积分区域上关于三 个坐标的奇偶性。,解：,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解：,则,
