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1、专题七：思想方法专题第二讲数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代
2、数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化聞創沟燴鐺險爱氇谴净。二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5构建立体几何模型研究代数问题；6构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7构建方程模型，求根的个数；8研究图形的形状、位置关系、性质等。三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几
3、点：残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。1准确画出函数图象，注意函数的定义域；2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。【核心要点突破】要点考向1
4、：利用数学概念或数学式的几何意义解题例1：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域思路精析：列出a,b满足的条件画出点(a,b)对应的区域求面积根据的几何意义求范围根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，厦礴恳蹒
5、骈時盡继價骚。由此可得不等式组由，解得A（-3，1）由，解得C（-1，0）在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为ABC（不包括边界）（1）ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率由图可知（3）(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）为直角三角形的三边；（4）图象的对称轴为x=只要具有一定
6、的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题例2：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：f(x+1)=f(x-1);当x-1,1时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（ ）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(A)5 (B)7 (C)9 (D)10(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x-4,0时，恒有f(x)g(x)，求实数a的范围預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。思路精析：（1）画出f(x)的图象画出y=lgx的图象数出交点个数（2）f(x)g(x)变形为画出的图象画出的
7、图象寻找成立的位置解析：（1）选C由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x) =lgx，则x（0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。（2）f(x)g(x)，即，变形得，令，变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=,要使f(x)g(x)在x-4,0时恒成立，则成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a6,a-5铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程
8、）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。要点
9、考向2：数形结合在解析几何中的应用例3：已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，求证：直线的斜率为定值；蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。（）求面积的最大值解析：（）设椭圆的方程为由题意2分解得 ，所以椭圆的方程为4分（）由题意知，两直线，的斜率必存在，设的斜率为，则的直线方程为.由得 .6分设，则，同理可得， 则，.所以直线的斜率为定值. 8分（）设的直线方程为.由得.由，得.10分此时，.到的距离为，则.因为使判别式大于零，所以当且仅当时取等号，所以面积的最大值为13分注：1数
10、形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。2此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。要点考向2：数形结合在立体几何中的应用例4：如图1,在直角梯形中,为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.() 求证:平面；() 求二面角的余弦值.解析:（）在图1中,可得,从而,故.取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面. 4分，又,.平面. 6分（）
11、建立空间直角坐标系如图所示,则,. 8分设为面的法向量,则即,解得.令,可得.又为面的一个法向量，.二面角的余弦值为.注：1应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。2立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1.方程lgx=sinx的根的个数( )(A)1
12、个(B)2个(C)3个(D)4个2已知全集U=R，集合A=x|x2-3x-103,则右图中阴影部分表示的集合为( )锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。A(3,5) B(-2,+) C(-2,5) D(5,+)3在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=(x,y)|x+y1,且x0,y0，则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面积为（ ）構氽頑黉碩饨荠龈话骛。 (A)2 (B)1 (C)(D)4函数图象如图，则函数 的单调递增区间为（ ）23yx0ABCD5不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD6已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(
13、x)cosx0的解集是 （ ）輒峄陽檉簖疖網儂號泶。二、填空题（每小题6分，共18分）7复数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是8.已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的范围是_.9.设A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m0，则使AB成立的实数m的取值范围是_.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）10如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，且，点、分别在侧棱、上，且（）求证：平面；（）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小 11如图，是通过某市开发区中心0的两
14、条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；（）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于km求此厂离点0的最近距离（注：工厂视为一个点）凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。12已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。参考答案1【解析】选C.在同
