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1、高中数学专题-抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f
2、(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx余切函数 f(x)=cotx目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f（x）的定义域是2，2，则函数y = f（x+1）+f（x1）的定义
3、域为。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 解：f(x)的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在 中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。例2：已知函数的定义域为3，11，求函数f(x)的定义域。评析： 已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。练习：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为，值域为。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;聞創沟燴鐺險爱
4、氇谴净。例3.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2
5、009)=-4918.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_.1謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1g(x)+x-1+5,厦礴恳蹒骈時盡继價骚。又f(x+1)f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+x-1+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x). 所以g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+
6、2)g(x+1),茕桢广鳓鯡选块网羈泪。故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则（ ）2.。2000鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。.( ,原式=16)3、对任意整数函数满足：，若，则 CA.-1 B.1 C. 19 D. 43籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。4、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ ）（B） A . 2005 B. 2 C.1 D.0預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。5、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(
7、2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（ ）（A）渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。A）B）C）8 D）16三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x
8、)=f(x)f(-x)=0与f(0)0矛盾,所以f(x)0.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0u2),则f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0u2)坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例6、设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。解:- （2）-（3）小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个
9、变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN; f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*
10、;f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*) (数学归纳证明略）綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。例9、已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，则当时，函数的解析式为（ D）A BC D解：易知T=2，当时,; 当时,.故选D。小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已
11、知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。练习：1、解:，2.（2006重庆）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值； 锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 （2）对任意的，都有f(x1)+20时f(x)0,且f(1)= -2,求f(x)輒峄陽檉簖疖網儂號泶。在-3，
12、3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1x2, 则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,f(x2-x1)0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R上为增函数。恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 。鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)1
13、0,x0，f(-x)1,由，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。 例11、已知偶函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式解： （1）设，则，即，在上是增函数（2），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，0，解得：练习：已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。证明：设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2
