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1、高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦 点焦 距离心率（离心率越大，椭圆越扁）通 径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长= （2）设椭圆左、右两
2、个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是 二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距离心率（离心率越大，开口越大）渐近线通 径（3）双曲线的渐近线：求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲
3、线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长= （2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下标准方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦焦准距四、弦长公式：其中,分别
4、是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。法（二）：用点差法，设，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率
5、取值范围是0e1，而双曲线离心率取值范围是e1)残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。高考专题训练椭圆、双曲线、抛物线一、选择题： 1(2011辽宁)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点M到y轴的距离为()酽锕极額閉镇桧猪訣锥。A.B1C.D.答案：C2(2011湖北)将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。An0 Bn1Cn2 Dn3答案：C3(2011全国)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。A.B.CD答案：D4
6、(2011浙江)已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()厦礴恳蹒骈時盡继價骚。Aa2Ba213Cb2Db22答案：C5(2011福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|4：3：2，则曲线的离心率等于()茕桢广鳓鯡选块网羈泪。A.或B.或2C.或2 D.或答案：A6(2011邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，且|PF1|PF2|，则双曲线的
7、离心率为()鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。A.B.1C.D.1答案：D二、填空题： 7(2011江西)若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。答案：18(2011课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。答案：19(2011浙江)设F1，F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标是_渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。答案：(0，1)10(2011全国
8、)已知F1、F2分别为双曲线C：1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为F1AF2的角平分线，则|AF2|_.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。答案：6三、解答题： 11(12分)(2011江西)P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。解：(1)e.(2)0或4.12(13分)(2011辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端
9、点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。(1)设e，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解：(1)|BC|:|AD|.(2)t0时的l不符合题意，t0时，BOAN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。基础巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线（2） 双曲线的实轴长是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【解析】选C.(5) 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（A）2 (B) (
10、C) （D) 【解析】选D.（21）（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。解：点P的轨迹方程为(3) 双曲线的实轴长是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【解析】选C.(4) 若直线过圆的圆心,则a的值为（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。【解析】.（17）（本小题满分13分）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆证明：（I）反证法3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A. B. C. D.【解析】：，选B。19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆
11、G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。解：（）（）当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.8已知点A（0,2），B（2,0）若点C在函数y = x的图像上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为 A綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 A4 B3 C2 D119（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.解：（）椭圆G的方程为（）PAB的面积S=7设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上
12、存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于 A猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。AB或2 C2 D17（本小题满分13分）已知直线l：y=x+m，mR。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。（I）圆的方程为（II）当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。21.（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：（I）点P在直线上（II）最小值为11设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|4：3：2，则曲线的离心率等于A構氽頑黉碩饨荠龈话骛。A.或B或2 C或2 D或輒峄陽檉簖疖網儂號泶。18.（本小题满分12分）如图，直线l：
