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1、2015年高中数学正、余弦定理的应用举例自测试题【梳理自测】1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A北偏东10B北偏西10C南偏东10 D南偏西102(教材改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A50 m B50 mC25 m D25 m3在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，如图所示则塔高CB为()残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。A. m B. m酽
2、锕极額閉镇桧猪訣锥。C. m D. m彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。4在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_千米謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。5海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60，ABC75，则B，C间的距离是_海里厦礴恳蹒骈時盡继價骚。答案：1.B2.A3.A4.5.5以上题目主要考查了以下内容：(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为，(如图)(3)方向角相对于某一正方向的水平角(如图)北偏东即由指
3、北方向顺时针旋转到达目标方向北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比(如图，i为坡比)【指点迷津】1一个意义解三角形应用要符合实际意义2两种情形解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解
4、茕桢广鳓鯡选块网羈泪。3四个步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型(3)选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求考向一测量距离问题例题1(2014石家庄高三模拟)如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：AEF，AFE，CEF，CFE，AEC.请你用文字和公式写出
5、计算A、C之间距离的步骤和结果鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。【审题视点】此题要求既写出测量方法又写出计算公式将立体图形逐步分割转化为三角形AEF，CEF和ACE中，求AC.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【典例精讲】第一步：在AEF中，利用正弦定理，得，解得AE；第二步：在CEF中，同理可得CE；第三步：在ACE中，利用余弦定理，得AC.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。【类题通法】(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理变式训练1(2014宝鸡
6、联考)如图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60，BCD135，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：1.414，1.732，2.236)铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解析：在ABD中，设BDxm，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即1402x210022100xcos 60，整理得x2100x9 6000，解得x1160，x260(舍去)，故BD160 m.在BCD中，由正弦定理得：，又ADCD，CDB30，BCsin 3080113(m
7、)擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。即两景点B与C之间的距离约为113 m.考向二测量高度问题例题2(2014郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。【审题视点】在平面三角形ABC中，题意只给出了AC与BC的大小关系(可设未知量)利用余弦定理求解后，再在RtAHC中求CH.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。【典例精讲】由
8、题意，设|AC|x，则|BC|x340x40，在ABC中，由余弦定理得：|BC|2|BA|2|CA|22|BA|CA|cosBAC, 即(x40)2x210 000100x，解得x420.在ACH中，|AC|420，CAH30，ACH90，所以|CH|AC|tanCAH140.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米【类题通法】(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错買鲷鴯
9、譖昙膚遙闫撷凄。变式训练2某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。解析：如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45，过点B作BECD于E，驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。则AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。BD20(米)BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米)在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高为(3)米考向三测量角度方向问题例题3(2014河北省
10、质监)已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10 海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。【审题视点】根据方向角构造三角形，求解ABC的大小来确定方向【典例精讲】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5 x，AC5，輒峄陽檉簖疖網儂號泶。依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，BC0.5 x7，解得x14.又由正弦定理得s
11、in ABC尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船【类题通法】1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义2求角的大小，在三角形中先求出其函数值或者证明某些线段的位置关系(平行、垂直)也可确定角度变式训练3如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解析：(1)依题意知，B
12、AC120，AB12海里，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28(海里)所以渔船甲的速度为14(海里/时)(2)由(1)知BC28海里，在ABC中，BCA，由正弦定理得.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。即sin .鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。解三角形实际应用规范答题典型例题(2013高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，
13、速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。(1)求索道AB的长(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【审题视点】(1)由cos A，cos C的值可求得sin B的值，然后在ABC中利用正弦定理可求得AB的长度阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。(2)利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的
14、最小值，即得最短距离(3)利用正弦定理求出BC的长，再根据题意列不等式求解【思维流程】计算sin B.由正弦定理计算AB.由余弦定理建立甲乙距离关于时间t的函数求二次函数的最小值计算BC长列出甲乙时间差的不等式，求速度范围【规范解答】(1)在ABC中，因为cos A，cos C，氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.3分釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。由正弦定理，得ABsin C1 040(m)怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。所以索道AB的长为1 040 m6分(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t
