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1、一元二次不等式解法【基础知识精讲】1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：ax2+bx+c0(a0);ax2+bx+c0(a0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表 二次函数情况一元二次方程一元二次不等式 y=ax2+bx+c(a0)=b2-4acax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)图像与解0x1=x2=不等式解集为xxx1或xx2不等式解集为xx1xx2=0x1=x2=x0=不等式解集xxx0,xR解集为0方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a0的情况自己完成3.一元n次不等式(x
2、-a1)(x-a2)(x-an)0,(x-a1)(x-a2)(x-an)0，其中a1a2an.把a1,a2,an按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：4.分式不等式(,bj互不相等)把a1,a2,an和b1,b2，bm按照从小到大的顺序标在数轴上，该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似，分n+m为奇数或偶数在数轴上表示.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c0，ax2+bx+c
3、0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c0，ax2+bx+c0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【重点难点解析】本小节重点是一元二次不等式的解法，难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例1 解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x20;(2)x(x+2)-1x(3-x);(3)x2-2x+30;(4)x2+6(x+3)3;分析 解一元二次不等式一般步骤是：化为标准形式；确定判别式=b2-4ac的符号；若0，则求
4、出该不等式对应的二次方程的根；若0，则对应二次方程无根；联系二次函数的图像得出不等式的解集.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解：(1)原不等式可化为x2-2x-30,(x-3)(x+1)0. 不等式的解集为x-1x3.(2)原不等式可化为2x2-x-20,(2x+1)(x-1)0. 不等式的解集为xx-，或x1.(3)原不等式可化为(x-)20. 不等式的解集为xxR且x.(4)原不等式可化为x2+6x+150. 0，方程x2+6x+15=0无实根， 不等式的解集为R.评析 熟练
5、掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，再加上熟练地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心应手.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例2 解不等式2.解：原不等式可化为-20,即为0，分子、分母必须同号，即可化为由于-2x2-x-1恒为负值，不等式除以(-2x2-x-1)得即x2+2x-30，即(x+3)(x-1)0.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。解之得-3x1.原不等式的解集为x-3x1.遇到分式不等式，一般应化为右边为零的形式，即化为0，然后转化为(当分式不等式的分母恒为正(或为负)时，可以去分母，如0x-10且)茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例3 若函数f(x)=ax2+bx+c(a0)对任意
6、的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( )鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。A.f(1)f(2)f(4) B.f(2)f(1)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1)分析 由条件知x=2为对称轴，f(2)最小，f(1)=f(3)，函数在(2，+)上为增函数，故选B.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。评析 熟记结论：对f(x)若恒有f(a+x)=f(a-x)成立，则函数的图像关于直线x=a对称.例4 已知不等式ax2+bx+20的解为-x，求a，b值.解：方法一：显然a0，由(x+)(x-)0，得6x2+x-10，变形得-12x2-2x+20，故a=-12,b=-2.方
7、法二：x=-与x=是ax2+bx+2=0的两根，故有解得评析 这里应注意韦达定理的应用.【难解巧解点拨】例1 若x2+qx+q0的解集是x2x4，求实数p、q的值.分析 在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。这类问题可以用下面的方法来解.先作出一个解集符合要求的不等式；根据不等式同解的要求，确定其系数的数值.解：不等式(x-2)(x-4)0 的解集为x2x4.即为x2-6x+80. 即-x2+6x-80.这与题中要求的不等式x2+qx+p0是同解且同向的二次不等式.其对应的系数成比例，且比值为正数(即二
8、次项系数之值同号).=0 解得p=-2,q=.说明 利用上法确定不等式系数时，必须注意：将两不等式化为同向不等式同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。例2 设A=x-2x-1,或x1，B=xx2+ax+b0，已知AB=xx-2，AB=x1x3，试求a,b的值.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析.解：如图所示，设B=xx设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B“覆盖”住集合x-1x3，才能使AB=x1x3擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。“-1且1”，并且-1及=3.=-1,=3.因此B=x-1x3，根据二次不等式与二次方程的关系，可知
9、-1与3是方程x2+ax+b=0的两根.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。a=-(-1+3)=-2,b=(-1)3=-3.说明 类似问题一定要借助数轴上的区间来考虑.同时要认真考查端点情况.例3 已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x-3，1，f(x)0成立，求实数a的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x，f(x)0，则0，即(a-2)2-40，0a4；(2)当x-3，1时，f(x)0，对称轴2-a可在区间内，也可在区间外，或或解得-a4评析 函数f(x)在给定区间上f(x)0(或f(x)0)f(x)在该区间上
10、的最小(或最大)值大于(或小于)零.只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义，才能正确处理函数的局部性质与整体性质的关系.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。【课本难题解答】课本第22页 习题1.5第8题解：原不等式可化为(3x-4)(2x+5)0 x-或x所以解集为xx-或x解：原不等式可化为(2x-15)(5x+2)0或x= -x或x= 即-x所以解集为x-x【命题趋势分析】一元一次不等式，一元二次不等式是最简单的不等式.历年高考中，都涉及到解不等式的题目，对解有理不等式、无理不等式，解指数和对数不等式，解绝对值不等式都进行了考查，而解这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式(组)或一元二次不等
11、式(组)来解.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。平时要求学生熟练掌握一元二次不等式(组)的解，并能灵活应用.【典型热点考题】例1 不等式1解集是 .分析 解不等式一般将一边变为零再处理解：将1变形为-10，通分得0 即解：(x-4)(x+3)0解得x-3或x4应填：x-3或x4注意 本题属0型不等式，解此类问题一般是运用等价转化的思想将其转化为一元二次不等式来解或一元一次不等式组来解.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。例2 设全集为R，A=xx2-5x-60，B=xx-5a(a是常数)，且11B，则( )綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。A.CRAB=R B.ACRB=R C.CRACRB=R D.AB=R驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
12、分析 本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法，集合间的关系，先需分别解出集合A、B，再根据11B这一条件确定a值范围，最后在数轴上判断集合间并集结果。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。解：A=xx2-5x-60=x(x-6)(x+1)0=xx-1或x6B=xx-5a=x-ax-5a=x5-ax5+a.11B 5+a11 a6 从而5-a-1.由数轴图可看出，AB=R. 应选D.注意 (1)本题主要考查一元二次不等式，含绝对值不等式的解法，以及集合关系(并集、补集).(2)作出数轴图，将抽象的字母和数字在数轴上表示出来，进行比较，由此判定出结果，是我们解此类问题常采用的方法.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。例3 不等
13、式x2-3x4的解集是 .解：x2-3x4x2-3x-4或x2-3x4即x2-3x+40或x2-3x-40由可化为(x-)2+0，显然解为.由可化为(x+1)(x-4)0，得解为x-1或x4.应填：xx-1或x4.注意 (1)本题主要考查含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法.(2)将含有绝对值不等式转化为一元二次不等式来解，是解好本题的关键.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。例4 公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 分析 由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的具体抛物线方程.为此，以O为原点，以OA所在直线为y轴，水面中垂直OA的直线为x轴建立直角坐标系，如上右图所示，则水流所呈现的抛物线方程为尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。y=a(x-1)2+2.25.由题意，点A的坐标为(0，1.25)，把x=0,y=1.25代入方程解得a=-1，于是抛物线方程为y=-(x-1)2+2
