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1、第二章 微分方程式定性法、向量平面,向量、矩陣、固有值 矩陣相乘 C = AB Cjk = ajm bmk ajm j = 列，m = 行 a11 a12 A22 = cjk = 列 a21 a2 行,A22B21 = C21 A43B32 = C42 A43B23 = 沒有乘積 a11 a12 a13 b11 b12 a21 a22 a23 b21 b22 a31 a32 a33 33 b31 b32 32 a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 = a21b11+a22b21+a13b31 a21b12+a22b22+a23b32 a31b11+
2、a32b21+a33b31 a31b12+a32b22+a33b32 32,AB = BA = A X m1 mn n1 j = ajnxm 1 a11 a12 a13 x1 2 = a21 a22 a23 x2 3 a31 a32 a33 x3,1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 3 = a31x1 + a32x2 + a33x3,轉矩陣(Transpose) a11 a12 a13 a11 a21 a31 A = a21 a22 a23 AT = a12 a22 a32 a31 a32 a33 a13 a23 a33 1
3、= 2 21 T = 1 2 12,逆矩陣、反矩陣 (Invense) 如果AB = BA = I B = A-1 1 a11 a12 a11 a12 A-1 = detA = detA a21 a22 a21 a22 a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33,a22 a23 a23 a21 a12 a13 a32 a33 a33 a31 a22 a23 A-1 = 1 a13 a12 a11 a13 a13 a11 detA a33 a32 a31 a33 a23 a21 a21 a22 a12 a11 a11 a12 a31 a32 a32 a31 a
4、21 a22,固有值、固有向量 Ax = x (A-I)x = 0 a11 a12 x1 0 = a21 a22-x x2 0 a11 a12 det (A - I) = a21 a22-,=2-(a11+a22)+a11a22-a12a21 = 0 特徵方程式 由特徵方程式 1 2 x(1) x(2) Example1(p152),應用例介紹 A-1 = (1/detA) adjA adjA = B = bij bij = (-1)i+j Aji Aji 為去除i行及j列之小行列式,a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 A22 = (-1)2+2 a
5、11 a13 a31 a33 A32 = (-1)1+3 a12 a13 a22 a23 A12 = (-1)2+1 a12 a13 a32 a33 A32 = (-1)3+2 a11 a12 a31 a32,範例 2 2 0 A = -2 1 1 之逆矩陣A-1 3 0 1 A-1 = (1/detA) adjA 2 2 0 detA = -2 1 1 = 2+6+4 =12 3 0 1,A-1 = (1/12) 1 1 - 2 0 2 0 = (1/12) 1 - 2 2 0 1 0 1 1 1 5 2 -2 -2 1 2 0 - 2 0 -3 6 6 3 1 3 1 -2 1 -2 1
6、- 2 2 2 2 = 1/12 -1/6 1/6 3 0 3 0 -2 1 5/12 1/6 -1/6 -1/4 1/2 1/2,(2) 2- 2 0 -2 1- 1 = -3 + 42 - 9 + 12 3 0 1- -A3 + 4A2 - 9A + 12I = 0 除A -A2 + 4A - 9I + 12A-1 = 0,A-1 = 1/12(A2 - 4A + 9I) 0 6 2 2 2 0 1 0 0 = 1/12 -3 -3 2 -4 -2 1 1 +9 0 1 0 9 6 1 3 0 1 0 0 1 1/12 -1/6 1/6 = 5/12 1/6 -1/6 ok -1/3 1/
7、2 1/2 (3) (A|I) (I|A-1) row operation method,detA = a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a21 a23 a24 a21 a22 a23 a24 = a11 a32 a33 a34 - a12 a31 a33 a34 a31 a32 a33 a34 a42 a43 a44 a41 a43 a44 a41 a42 a43 a44 a21 a22 a24 a21 a22 a23 + a13 a31 a32 a34 - a14 a31 a32 a33 a41 a42 a44 a41 a42 a43,detA = a11 a12 a
8、1n = aj1cj1 + aj2cj2 + +ajncjn a21 a22 a2n . . . j = 1.2.3.4.n . . . . . . an1 an2 ann cjk = (-1)j+k Mjk,2 0 -4 -6 = 2 5 1 0 - 0 4 1 04 5 1 0 2 6 -1 0 6 -10 2 6 1 8 9 1 -3 9 1 -3 8 9 1 - 4 4 5 0 - 6 4 5 1 0 2 -1 0 2 6 -3 8 1 -3 8 9 =1134,基本觀念與理論 一皆微分方程式系統 y1 = f(t, y1, y2, yn) y2 = f(t, y1, y2, yn)
9、yn = f(t, y1, y2, yn) 有解 y1 = h1(t) , y2 = h2(t) , yn = hn(t) y = h(t) 向量解,初始值問題 I.C y1(t0) = k1 , y2(t0) = k2 , yn(t0) = kn y(t0) = k 初始值向量 線性系統 y1 = a11(t)y1 + a1n(t)yn + g1(t) y2 = a21(t)y1 + a2n(t)yn + g2(t) . . yn = an1(t)y1 + ann(t)yn + gn(t),y = Ay + g 非齊次式 a11 a1n y1 y1 . . y2 y2 A = . . y =
10、 . g= . . . . . an1 ann yn yn 如果g = 0 齊次式 y = Ay,(定理) 如果y(1) , y(2) 均為齊次式之解， 則 y = y(1) + y(2) 應為其解。 y = c1y(1) + c2y(2) = c1y(1) + c2y(2) = c1Ay(1) + c2Ay(2) = A(c1y(1) + c2y(2) = Ay,龍思金 y = c1y(1) + c2y(2) + + cny(n) 為通解 y = y(1) , ,y(n) 基本矩陣 dety = y1(1) y1(2) y1(n) y2(1) y2(2) y2(n) . . . = W (y
11、(1) y(2) y(n) . . . yn(1) yn(2) yn(n) linearly independent y(1) , y(2) y(n) 為基底 Example 3-1(p152),二階ODE方程式(sec 2-10) W = y1 y2 = z1(1) z1(2) y1 y2 z2(1) z2(2),常係數之齊次系統方程組 y = Ay homogeneous linear ODE system A = ajk 為常數矩陣，不為t之函數 y = ky y = cekt y = xet 值得一式 y = xet = Ay = Axet Ax = x (A-I)x = 0, 固有值
12、 x 固有向量 由n個 值可求得n個 x y(1) = x(1)e1t , y(2) = x(2)e2t , y(n) = x(n)ent x1(1) e1t x1(n) ent x1(1) x1(n) x2(1) e1t x2(n) ent . . W(y(1) , y(2) , ,y(n) = . . . = et + +nt . . . . . xn(1) e1t xn(n) ent xn(1) xn(n),General solution y = c1x(1)e1t + c2x(2)e2t + + cnx(n)ent x(1) ,x(2) ,x(n) 為 ,如果固有值有雙重根時 即 d
13、et (A - I) = 0 ( - )2 = 0 則 y(1) = xet y(2) = xtet + uet y(2) = xet + xtet + uet = Ay(2) = A (xtet + uet),又 Ax = x xet + Axtet + uet = Axtet + Auet (x + u) et = Auet det(A - I) = 0 u 另一組向量 Example 6 (p168),如果固有值有三重根 即 det (A - I) = 0 ( - )3 = 0 y(1) = xet y(2) = xtet + uet y(3) = 1/2xt2et + utet + et y = c1y(1) + c2y(2) + c3y(3) (A - I) = u (A - I) u = u,Mixing problem 混合問題 Tank 1 ：20 l 水，溶有 150 g cl(氣) Tank 1 ：10 l 水，溶有 50 g cl(氣),Check TANK1 Qin = 3 + 3 = 6 l /min Qout = 2+4 = 6 l /min V1 = 20 l TANK2 Qin = 4 l /min Qout = 3+1 = 4 l /min V2 = 10 l 因為容量不變，而純水一直流進來稀釋原有 cl 含量，最終 將達到兩槽為純水之情況。
