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1、- 1 - 第五章第五章 相交线与平行线相交线与平行线 知识要点知识要点 1. 角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的部分， 这条射线叫角的平分线.（如图） A B C O 几何表达式举例： (1) OC 平分AOB AOC=BOC (2) AOC=BOC OC 是AOB 的平分线 2线段中点的定义： 点 C 把线段 AB 分成两条相等的线段， 点 C 叫线段中点.(如图) BAC 几何表达式举例： (1) C 是 AB 中点 AC = BC (2) AC = BC C 是 AB 中点 3等量公理：(如图) （1）等量加等量和相等；（2）等量减等量差相等； （3）等量的等倍量相等；（
2、4）等量的等分量相等. CDAB （1） C D A B O （2） AE F G B C M O （3） CGABEF （4） 几何表达式举例： (1) AC=DB AC+CD=DB+CD 即 AD=BC (2) AOC=DOB AOC-BOC=DOB-BOC 即AOB=DOC (3) BOC=GFM 又AOB=2BOC EFG=2GFM AOB=EFG (4) AC=AB ，EG=EF 2 1 2 1 又AB=EF AC=EG 4等量代换：几何表达式举例： a=c b=c a=b 几何表达式举例： a=c b=d 又c=d a=b 几何表达式举例： a=c+d b=c+d a=b 5补角重
3、要性质： 同角或等角的补角相等.(如图) 3 2 1 4 几何表达式举例： 1+3=180 2+4=180 又3=4 1=2 - 2 - 6余角重要性质： 同角或等角的余角相等.(如图) 1 4 2 3 几何表达式举例： 1+3=90 2+4=90 又3=4 1=2 7对顶角性质定理： 对顶角相等.(如图) B A C D O 几何表达式举例： AOC=DOB 8两条直线垂直的定义： 两条直线相交成四个角，有一个角是直角，这 两条直线互相垂直.(如图) C D ABO 几何表达式举例： (1) AB、CD 互相垂直 COB=90 (2) COB=90 AB、CD 互相垂直 9三直线平行定理：
4、两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条 直线也平行.(如图) CD AB EF 几何表达式举例： ABEF 又CDEF ABCD 10平行线判定定理： 两条直线被第三条直线所截： （1）若同位角相等，两条直线平行；(如图) （2）若内错角相等，两条直线平行；(如图) （3）若同旁内角互补，两条直线平行.(如图) BE G A CDF H 几何表达式举例： (1) GEB=EFD ABCD (2) AEF=DFE ABCD (3) BEF+DFE=180 ABCD 11平行线性质定理： （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； (如图) （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； (
5、如图) BE G A CDF H 几何表达式举例： (1) ABCD GEB=EFD (2)ABCD AEF=DFE - 3 - （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互 补.(如图) (3)ABCD BEF+DFE=180 考点例析：考点例析： 题型一题型一互余与互补互余与互补 例1（内江市）一个角的余角比它的补角的 1 2少20.则这个角为（） A.30 B.40 C.60 D.75 分析若设这个角为x，则这个角的余角是90 x，补角是180 x，于是构造出方程即可求解. 解设这个角为x，则这个角的余角是90 x，补角是180 x. 则根据题意，得 1 2(180 x)(90 x)20
6、.解得：x40.故应选B. 说明处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数， 构造方程求解.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 题型二题型二平行线的性质与判定平行线的性质与判定 例2（盐城市）已知：如图1，l1l2，150，则2的度数是（） A.135 B.130 C.50 D.40 分析要求2的度数，由l1l2可知1+2180，于是由150，即可求解. 解因为l1l2，所以1+2180， 又因为150，所以2180118050130.故应选B. 说明本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解. 例3（重庆市）如图2，已知直线l1l2，140，那么2度. 分析如图2，
7、要求2的大小，只要能求出3，此时由直线l1l2，得31即可求解. 解因为l1l2，140，所以1340. 又因为23，所以240.故应填上40. 说明本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解. 例4（烟台市）如图3，已知ABCD，130，290，则3等于（） A.60B.50C.40D.30 分析要求3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过2的顶点作EFAB，由有 1AEF，3CEF，再由130，290求解.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 解如图3，过2的顶点作EFAB.所以1AEF， 又因为ABCD，所以EFCD，所以3CEF， 而130，290，所以3903060.故应选A. 说明本题在
8、求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解. 例5（南通市）如图4，ABCD ，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，BEF的平分线交CD于点G，若 2 1 图 2图 1 E - 4 - EFG72，则EGF等于（）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 A.36 B.54 C.72 D.108 分析要求EGF的大小，由于ABCD ，则有BEF+EFG180，EGFBEG，而EG平分 BEF，EFG72，所以可以求得EGF54.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 解因为ABCD ，所以BEF+EFG180，EGFBEG， 又因为EG平分BEF，EFG72，所以BEGFEG54.故应选B. 说明求解有关平行线中的角度
9、问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线 等知识就能简洁获解.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 题型三题型三尺规作图尺规作图 例6（杭州市）已知角和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角B，腰长AB c，要求 仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 分析要作等腰三角形ABC，使其底角B，腰长ABc，可以先作出底角B，再在底角的一边截 取BAc，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C，即得.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 作法（1）作射线BP，再作PBQ； （2）在射线BQ上截取BAc； （3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C； （4
10、）连接AC.则ABC为所求.如图6. 例7（长沙市）如图7，已知AOB和射线OB，用尺规作图法作AOBAOB（要求保留作图痕迹）. 茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 分析只要再过点O作一条射线OA，使得AOBAOB即可. 作法（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D； （2）以O为圆心，同样长为半径画弧，交OB于点D； （3）以D为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C； （4）过点OC作一条射线OA.如图7中的AOB即为所求作. 说明在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了. 图 4 B D GF C A E A OB BO 图 7 A D C D C 图 5 c A 图
11、 6 c c B C P - 5 - 熟悉以下概念；熟悉以下概念； 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个 角，互为_.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长 线，具有这种关系的两个角，互为_.对顶角的性质：_ _.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_.垂线的性质： 过一点_一条直线与已知直线垂直.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， _.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
12、叫做_. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条 直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两 个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做 _.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相_.同一平面内的两条直线的位置关系只有_ 与_两种.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_. 8.平行线的
13、判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这 两条直线平行.简单说成：_.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： _. 9.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ . 10.平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： _.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成： _.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成： _ .贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 11.判断一件事情的语句，叫做_.命题
14、由_和_两部分组成.题设是已知事项，结论 - 6 - 是_.命题常可以写成“如果那么”的形式，这时“如果”后接的部 分是_， “那么”后接的部分是_.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命 题叫做_.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做_.定理 都是真命题.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 12.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称 _.图形平移的方向不一定是水平的.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 平移的性质：把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全_. 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点 的线段_.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 熟悉以下各题：熟悉以下各题： 13.如图，那么点 A 到 BC 的距离是_，,8,6,10,BCAC CBcm ACcm ABcm 点 B 到 AC 的距离是_，点 A、B 两点的距离是_，点 C 到 AB 的距离是 _綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 14. 设、b、c 为平面上三条不同直线，a a)若，则 a 与 c 的位置关系是_；/ , /ab bc b)若，则 a 与 c 的位置关系是_；,a
