《2018高中数学第二章数列2.2.2等差数列的通项公式苏教必修5(1)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018高中数学第二章数列2.2.2等差数列的通项公式苏教必修5(1)(34页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 2.2等差数列,2.2.2等差数列的通项公式,1.掌握等差数列通项公式的推导及应用. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 3.能运用等差数列的性质解决有关问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一等差数列的通项公式,思考,答案,等差数列an中,首项为a1,公差为d,如何用a1,d表示an?,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) a1dddda1(n1)d. (n1)个,梳理一般地,ana1(n1)d称为等差数列an的通项公式.,已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项公式ana1(n1)d,如果已知第m项am和公差d,又如
2、何表示通项公式an?,知识点二等差数列通项公式的几何意义,思考,答案,设等差数列的首项为a1,则ama1(m1)d, 变形得a1am(m1)d, 则ana1(n1)dam(m1)d(n1)d am(nm)d.,还记得高斯怎么计算123100的吗?,知识点三等差数列的性质,思考,答案,利用1100299.,梳理在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2. 注意到上式中的序号1n2(n1), 有:在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则aman .特别地,若mn2p,则anam .,apaq,2ap,题型探究,类型一求等差数列的
3、通项公式,例1甲虫是行动较快的昆虫之一,下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:,解答,(1)你能建立一个等差数列的模型,表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗?,由题目表中数据可知,该数列从第2项起,每一项与前一项的差都是常数9.8,所以该模型是一个等差数列模型.因为a19.8,d9.8,所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s9.8t.,(2)利用建立的模型计算,甲虫1 min能爬多远?它爬行49 cm需要多长时间?,当t1 min60 s时,s9.8t9.860588(cm).,解答,由于anam(nm)d,要求通项公式,只需求出该数列的任意一项和公差.,反思与感悟,跟踪训练1已知等差数列an:
4、3,7,11,15,. (1)135,4m19(mN*)是an中的项吗?试说明理由;,解答,a13,d4,ana1(n1)d4n1. 令an4n1135,n34, 135是数列an中的第34项. 令an4n14m19,则nm5(m,nN*). 4m19是数列an中的第m5项.,(2)若ap,aq(p,qN*)是数列an中的项,则2ap3aq是数列an中的项吗?并说明你的理由.,解答,ap,aq是数列an中的项, ap4p1,aq4q1. 2ap3aq2(4p1)3(4q1) 8p12q54(2p3q1)1, 其中2p3q1N*, 2ap3aq是数列an中的第2p3q1项.,类型二等差数列通项公
5、式及推广形式的应用,命题角度1列方程(组)求基本量 例2在等差数列an中,已知a25,a817,求数列的公差及通项公式.,解答,所以ana1(n1)d3(n1)22n1. 方法二因为a8a2(82)d, 所以1756d,解得d2. 又因为ana2(n2)d, 所以an5(n2)22n1.,反思与感悟,把已知条件转化为关于a1,d的方程组求解,是一种常用思想,称为方程思想.灵活利用等差数列的性质,可以减少运算量.,解答,跟踪训练2等差数列an为递减数列,且a2a416,a1a528,求数列an的通项公式.,又a1a5,故a114,a52,d3, 故an143(n1)173n.,解答,取数列an中
6、任意相邻两项an和an1(n1), 求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p. 它是一个与n无关的常数,所以an是等差数列. 由于anpnqqp(n1)p, 所以首项a1pq,公差dp.,命题角度2等差数列的通项公式与一次函数关系 例3已知数列an的通项公式为anpnq,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多少?,反思与感悟,从通项公式代数特点上看,anknb(k,b为常数,nN*)an是等差数列.其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列,但不宜用来证明.证明要用定义:an1and,nN*.,跟踪训练3若an是等差数列,下列
7、数列中仍为等差数列的有_个. |an|;an1an; panq(p,q为常数);2ann.,3,设anknb, 则an1ank,故为常数列,也是等差数列. panqp(knb)qpkn(pbq), 故为等差数列. 2ann2(knb)n(2k1)n2b, 故为等差数列. 不一定是等差数列,如an2n4,则|an|的前4项为2,0,2,4,显然|an|不是等差数列.,答案,解析,类型三等差数列性质的应用,例4已知等差数列an中,a1a4a715,a2a4a645,求此数列的通项公式.,解答,方法一因为a1a72a4, 所以a1a4a73a415, 即a45. 又因为a2a4a645,所以a2a6
8、9, 即(a42d)(a42d)9,(52d)(52d)9, 解得d2. 若d2,ana4(n4)d2n3; 若d2,ana4(n4)d132n.,方法二设等差数列的公差为d, 则由a1a4a715,得 a1a13da16d15, 即a13d5, 由a2a4a645, 得(a1d)(a13d)(a15d)45, 将代入上式,得 (a1d)5(52d)45, 即(a1d)(52d)9,,解,组成的方程组,得 a11,d2或a111,d2, 所以an12(n1)2n3 或an112(n1)2n13.,引申探究 1.在本例中,不难验证a1a4a7a2a4a6,那么,在等差数列an中,若mnpqrs,
9、m,n,p,q,r,sN*,是否有amanapaqaras?,解答,设公差为d,则ama1(m1)d, ana1(n1)d, apa1(p1)d, aqa1(q1)d, ara1(r1)d, asa1(s1)d, amanap3a1(mnp3)d, aqaras3a1(qrs3)d, mnpqrs, amanapaqaras.,2.在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7_.,答案,解析,20,a3a810, a3a3a8a820. 33885557, a3a3a8a8a5a5a5a7, 即3a5a72(a3a8)20.,反思与感悟,解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列
10、an的性质;二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差求解,属于通项方法;或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.,解答,跟踪训练4在等差数列an中,已知a1a4a739,a2a5a833,求a3a6a9的值.,方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d, (a3a6a9)(a2a5a8)3d, a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9成等差数列. a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7) 2333927. 方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d) 3a19d39, a13d13.,a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d) 3a112d33, a14d11.,a
11、3a6a9(a12d)(a15d)(a18d) 3a115d31915(2)27.,当堂训练,1.在等差数列an中,已知a310,a820,则公差d_.,答案,解析,1,2,3,4,6,由等差数列的性质得a8a3(83)d5d,,2.在等差数列an中,已知a42,a814,则a15_.,由a8a4(84)d4d,得d3, 所以a15a8(158)d147335.,1,2,3,4,答案,解析,35,3.等差数列an中,a4a515,a712,则a2_.,1,2,3,4,答案,解析,由数列的性质,得a4a5a2a7, 所以a215123.,3,1,2,3,4,4.下列命题中正确的是_. 若a,b,
12、c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列; 若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列; 若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列; 若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列.,答案,解析,a,b,c为等差数列,2bac, 2(b2)(a2)(c2), a2,b2,c2成等差数列.,规律与方法,1.等差数列an中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列. 2.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.,本课结束,