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1、第二章 解三角形,2三角形中的几何计算,1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一平面图形中的计算问题,画出图形 ； 理清已知条件，要求的目标； 根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件.,答案,梳理,对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.,知识点二平面图形中的最值问题,思考,先求出两直线交点坐标(4k，3k)，
2、再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(4k)2(3k)29，从中求得k的最大值为 .,问题：直线x2y2k0与直线2x3yk0的交点在圆x2y29上或圆的内部，如何求k的最大值？,答案,梳理,类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值.,知识点三解三角形常用公式,在ABC中，有以下常用结论： (1)abc，bca，cab； (2)ab ； (3)ABC， ； (4)sin(AB) ，cos(AB) ，,sin Asin B,AB,sin C,cos C,(5)三角形常用面积公式,题型探究
3、,类型一利用正弦、余弦定理求线段长度,例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长.,解答,在ABD中，由余弦定理， 得AB2AD2BD22ADBDcosADB， 设BDx，则有142102x2210 xcos 60， x210 x960， x116，x26(舍去)， BD16. 在BCD中，,反思与感悟,解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解.,跟踪训练1如图所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78， sin B ，求BC边上的高AD的长.,解答,在ABC中，由已知设AB7x，AC8x，x0，
4、,又07x，知B也为钝角，不合题意， 故C120. C60.,由余弦定理，得(7x)2(8x) 215228x15cos 60， x28x150， 解得x3或x5. AB21或AB35.,解答,类型二利用正弦、余弦定理求角度问题,设BEx，在BDE中，利用余弦定理， 可得BD2BE2ED22BEEDcosBED，,在ABC中，利用余弦定理，,反思与感悟,运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解.,解答,又0A180，A60. 在ABC中，C180AB120B.,类型三利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题,例3已知ABC的角A、B、C所对的
5、边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2). (1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；,证明,证明mn，asin Absin B，,a2b2，ab， ABC为等腰三角形.,(2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.,解答,由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0. abab. 由余弦定理可知，4a2b2ab(ab) 23ab， 即(ab) 23ab40，ab4(舍去ab1).,反思与感悟,解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能熟练地运用公式进行求值.,跟踪训练3(1)在ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求
6、最大角的余弦值；,解答,设三边长分别为a1，a，a1， 由于最大角是钝角，所以(a1) 2a2(a1) 20， 解得0a4.又因为a为整数，所以a1或2或3. 当a1时，a10，不合题意舍去； 当a2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形； 当a3时，三边长为2,3,4，设最大角为，则,(2)求以(1)中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.,解答,设相邻两边长分别为x，y，则xy4.,当堂训练,1.三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦值是方程5x27x60的根，则此三角形的面积是,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.在ABC中，周长为7.5
7、cm，且sin Asin Bsin C4 56，下列结论： abc456 abc2 a2 cm，b2.5 cm，c3 cm ABC456 其中成立的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,由正弦定理知abc456，故对，错，错； 结合abc7.5，知a2，b2.5，c3，对， 选C.,1,2,3,4,5,3.ABC中，若A60，b16，此三角形面积S ，则a的值为 A.7 B.25 C.55 D.49,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.在ABC中，ab12，A60，B45，则a .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.在ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a3，b4，c6， 则bccos Aaccos Babcos C的值为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,规律与方法,1.正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系. 2.不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正弦、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题转化为简单问题来计算或证明.,
