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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试北 京 卷(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015高考北京卷)复数i(2i)()A12iB12iC12i D12i解析：选A.i(2i)2ii212i.2(2015高考北京卷)若x，y满足则zx2y的最大值为()A0 B1C. D2解析：选D.作出不等式组所表示的平面区域，如下图第2题图作直线x2y0，向右上平移，当直线过点A(0,1)时，zx2y取最大值，即zmax0212.第3题图3(2015
2、高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A(2,2) B(4,0)C(4，4) D(0，8)解析：选B.x1，y1，k0，sxy0，txy2，xs0，yt2，k1，不满足k3；sxy2，txy2，x2，y2，k2，不满足k3；sxy4，txy0，x4，y0，k3，满足k3，输出的结果为(4,0)4(2015高考北京卷)设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而mD/；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m”是“”的必要而不充分条件
3、5(2015高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()第5题图A2 B4C22 D5第5题图解析：选C.作出三棱锥的示意图如图，在ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥SABC中，SC底面ABC，SC1，底面三角形ABC是等腰三角形，ACBC，AB边上的高CD2，ADBD1，斜高SD，ACBC. S表SABCSSACSSBCSSAB2211222.6(2015高考北京卷)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)0解析：选C.设等差数列an的公差为d，
4、若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错；若0a1a2，可知a10，d0，a20，a30， aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20， a2，故选项C正确；若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错7.第7题图如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析：选C.令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图象如图由得
5、 结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1第7题图8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()第8题图A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以
6、80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对第卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上)9在(2x)5的展开式中，x3的系数为_(用数字作答)解析：设通项为Tr1C25rxr，令r3，则x3的系数为C2210440.答案：4010已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.解析：双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.答案：11在极坐标系中，点到直线(c
7、os sin )6的距离为_解析：由知极坐标可化为(1，)，直线(cos sin )6可化为xy60.故所求距离为d1.答案：112在ABC中，a4，b5，c6，则_.解析：由正弦定理得，由余弦定理得cos A， a4，b5，c6， 2cos A21.答案：113在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析： 2， . ， ()， ().又xy， x，y.答案：14设函数f(x)若a1，则f(x)的最小值为_；若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_解析：当a1时，f(x)当x1时，f(x)2x1(1,1)，当x1时，f(x)4(x23x2)41， f(x)min1.由于f(
8、x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)2xa，x1没有零点时，a2或a0.当a2时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，有2个零点；当a0时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时无零点因此a2满足题意当f(x)2xa，x1有一个零点时，0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有一个零点，此时a1,2a1，因此a1.综上知实数a的取值范围是.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分13分)已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值解：(1)由题意得f(x)sin x
9、(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.16(本小题满分13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求
10、证明)解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i1,2，7.由题意可知P(Ai)P(Bi)，i1,2，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)P(A5)P(A6)P(A7).(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”由题意知CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，因此P(C)P(A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B
11、6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1).(3)a11或a18.第17题图17(本小题满分14分)如图，在四棱锥A EFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点(1)求证：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值解：(1)证明：因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB，所以AOBE.(2)取BC的中点G，连接OG.由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB，又
12、OG平面EFCB，所以OAOG.第17题图如图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a,0,0)，A(0,0，a)，B(2，(2a)，0)，(a,0，a)，(a2，(a2)，0)设平面AEB的一个法向量n(x，y，z)，则即令z1，则x，y1，于是n(，1,1)又平面AEF的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC，所以BECO，即0.因为(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)2.由0及0a2，解得a.18(本小题满分13分)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0,1)时，f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立，求k的最大值解：(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明：令g(x)f(x)2，则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0x1)，所以g(x)在区间(0,1)上单调递增所以g(x)g(0)0，x(0,1)，即当x(0,1)时，f(x)2.(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0,1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1
