2015年普通高等学校招生全国统一考试湖 南 卷(理科)

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试湖 南 卷(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1iB1iC1i D1i解析：选D.由1i，得z1i，故选D.2设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C. ABAAB， “ABA”是“AB”的充要条件3执行如图所示的程序框图，如果输入n3，则输出的S()第3题图A. B.C. D

2、.解析：选B.第一次循环：S，i2；第二次循环：S，i3；第三次循环：S，i4，满足循环条件，结束循环故输出S1，故选B.4若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为()A7 B1C1 D2解析：选A.画出可行域，如图中阴影部分所示目标函数z3xy可化为y3xz，其斜率为3，纵截距为z，平移直线y3x知当直线y3xz经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值由得A(2,1)，故zmin3(2)17，故选A.第4题图5设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)

3、上是减函数解析：选A.由得1x0，故f(x)在(0,1)上为增函数故选A.6已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a()A. BC6 D6解析：选D.Tr1C()5rrC(a)rx，由，解得r1.由C(a)30，得a6.故选D.第7题图7在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A2 386 B2 718C3 413 D4 772附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.解析：选C.由P(1X1)0.682 6，得P(0X1)0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故

4、估计落入阴影部分的点的个数为10 0003 413，故选C.8已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6 B7C8 D9解析：选B.法一：AC为RtABC的斜边，则AC为圆x2y21的一条直径，故AC必经过原点，如图，则2，|2|2|，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(1,0)处时|取得最大值，此时， (2,0)，(3,0)，2|2237，故|的最大值为7.第8题图法二：同法一，得|2|.又， |2|3| 7，当且仅当POB180时取“等号”，故|的最大值为7.法三：同法一，得|2|.设B(cos ，sin )，则|2|2(2,

5、0)(cos 2，sin )|(6cos ，sin )|7(当cos 1，即B落在点(1,0)处时取等号). 故|的最大值为7.9将函数f(x)sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B.C. D.解析：选D.因为g(x)sin 2(x)sin(2x2)，所以|f(x1)g(x2)|sin 2x1sin(2x22)|2.因为1sin 2x11，1sin(2x22)1，所以sin 2x1和sin(2x22)的值中，一个为1，另一个为1，不妨取sin 2x11，sin(2x22)1，则2x12k1，k

6、1Z，2x222k2，k2Z,2x12x222(k1k2)，(k1k2)Z，得|x1x2|(k1k2).因为0，所以0，故当k1k20时，|x1x2|min，则，故选D.10某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为()第10题图A. B.C. D.解析：选A.该三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥. 如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，上、下底面中心分别为O1，O2，上方截掉的小圆锥的高为h，底面半径为r，则a2b24r2.由三角形相似，得，即，则h2r.长方体的体积为Vab

7、cab(22r)(22r)2r2(22r)4r24r3(当且仅当ab时取等号，且0r1)设y4r24r3(0r0，得0r.由y0，得r1.故当r时，ymax4243，即Vmax. 原工件材料的利用率为，故选A.第10题图第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11.(x1)dx_.解析：(x1)dx2220.答案：012在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示第12题图若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_解析：3575，因此可将编号为135的35个数据分

8、成7组，每组有5个数据，在区间139,151上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人答案：413设F是双曲线C：1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_解析：不妨设F(c,0)，PF的中点为(0，b)由中点坐标公式可知P(c,2b)又点P在双曲线上，则1，故5，即e.答案：14设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(a1a2)3a1a1a2a3.化简，得3，即等比数列an的公比q3，故an13n13n1.答案：3n115已知函

9、数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a0，则当xa时，f(x)x3，函数单调递增；当xa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点. 若0a1，则a3a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点. 若a1，则a3a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点综上，a1.(1)

10、(2)(3)第15题图答案：(，0)(1，)三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)本小题设有(1)(2)(3)三个选做题请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内如果全做，则按所做的前两题计分第16题图(1)(本题满分6分)选修41：几何证明选讲如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：MENNOM180；FEFNFMFO.(2)(本题满分6分)选修44：坐标系与参数方程已知直线l：(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标

11、方程为2cos .将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值(3)(本题满分6分)选修45：不等式选讲设a0，b0，且ab.证明：ab2；a2a2与b2b0，b0，得ab1.由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A122.因为0A，所以0sin A，因此22.由此可知sin Asin C的取值范围是.18(本小题满分