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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试山 东 卷(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟参考公式如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则AB()A(1,3)B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：选C.由已知可得集合Ax|1x3，又因为Bx|2x4，所以AB(2,3)，故选C.2若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1i B1iC1i D1i解析：选A.由已知得i(1i)1i，则
2、z1i，故选A.3要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位解析：选B.由ysinsin 4得，只需将ysin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.4已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2解析：选D.由已知条件得aacos 30a2，故选D.5不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)解析：选A.当x1时，原不等式可化为1x(5x)2， 42，不等式恒成立， x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2， x4， 1x4.当x5时
3、，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)，故选A.6已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2C2 D3第6题图解析：选B.画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意， 2a04，此时a2，故选B.7在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C. D2第7题图解析：选C.过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体
4、是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.8已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故选B.9一条光线从点
5、(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析：选D.由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选D.10设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1，)解析：选C.由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11， a，即a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意
6、得无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得解得所以ab.答案：15平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析：双曲线的两条渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BFOA，即kBFkOA1，又kBF，kOA，所以有1，即，故C1的离心率e .答案：三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，
7、角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解：(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.第17题图17(本小题满分12分)如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(
8、2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE，BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小第17题图(1)解：(1)法一：如图(1)，连接DG，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所
9、以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.第17题图(2)(2)法一：设AB2，则CF1.在三棱台DEFABC中，G为AC的中点，由DFACGC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DGFC.又FC平面ABC，所以DG平面ABC.在ABC中，因为ABBC，BAC45，G是AC的中点，所以ABBC，GBGC，因此GB、GC、GD两两垂直以G为坐标原点建立如图(2)所示的空间直角坐标系Gxyz，所以G(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，D(0,0,1)可得H，F(0，1)，故，(0，1)设n(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则由可得令x1，可得平面FGH的
10、一个法向量n(1，1，)因为是平面ACFD的一个法向量，(，0,0)，所以cos，n.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.第17题图(3)法二：作HMAC于点M，作MNGF于点N，连接NH.设AB2，则CF1.由FC平面ABC，得HMFC.又FCACC，所以HM平面ACFD.因此GFNH，所以MNH或其补角即为所求的角在BGC中，MHBG，MHBG.由GNMGCF，可得，从而MN.由HM平面ACFD，MN平面ACFD，得HMMN，因此tanMNH，所以MNH60.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.18(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn.已知
11、2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解：(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13.当n2时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1.当n2时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n2时，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn.经检验，n1时也适合综上可得Tn.19(本小题满分12分)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只
