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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试天 津 卷(理工类) 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)柱体的体积公式VSh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高锥体的体积公式VSh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合AUB()A2,5B
2、3,6C2,5,6 D2,3,5,6,8解析：选A.由题意得UB2,5,8， AUB2,3,5,62,5,82,52设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为()A3 B4C18 D40解析：选C.由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示第2题图作直线x6y0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时zx6y取得最大值，最大值为18.第3题图3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A10B6C14D18解析：选B.S20，i1，i2i2，SSi20218，不满足i5；i2i4，SSi18414，不满足i5；i2i8，SSi1486，满足i5，故输出S6.4设x
3、R，则“|x2|1”是“x2x20”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.|x2|11x0x1或x2.由于x|1x1或x2的真子集，所以“|x2|0”的充分而不必要条件第5题图5如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()A. B3C. D.解析：选A.由题意可设AMMNNBx，由圆的相交弦定理得即解得x2，NE.6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D.由双
4、曲线的渐近线yx过点(2, )，可得 2.由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得.由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.7已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba解析：选C.由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12log2312，bf(log25)2|log25|12log2514，cf(0)2|0|10，所以ca2时，g(x)xb4，f(x)(x2)2；当0x
5、2时，g(x)bx，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x80，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x(x)0，无解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有1解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x2x，有无数个解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x70，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为1x2x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，无解所以b1，排除答案C.因此答案选D.第卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上)9i是虚数单位，若复数(
6、12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_解析：由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数可得a20,12a0，解得a2.答案：210一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.第10题图解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V1212122.答案：11曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_第11题图解析：如图，阴影部分的面积即为所求由得A(1,1)故所求面积为S(xx2)dx.答案：12在6的展开式中，x2的系数为_解析：设通项为Tr1Cx6rrCrx62
7、r.令62r2得r2， x2 的系数为C2.答案：13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_解析：在ABC 中，由cos A可得sin A，所以有解得答案：814在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_第14题图解析：在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60可得ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，(2,0)，(1,0) ， E. ， F. 2 .当且仅当，即时取等号，符合题意 的最小值为.答
8、案：三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分13分)已知函数f(x)sin2xsin2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f，f，f，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.16(本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从
9、这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解：(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.第17题图17(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)
10、求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长第17题图解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，A1(0,0,2)，B1(0，1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2,2)又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，所以M，N(1，2,1)(1)证明：依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由此可得n0.又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2,2)，(2,0,0)，设n1(
11、x1，y1，z1)为平面ACD1的一个法向量，则即不妨设z11，可得n1(0,1,1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的一个法向量，则又(0,1,2)，所以不妨设z21，可得n2(0，2,1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2，所以，二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设，其中0,1，则E(0，2)，从而(1，2,1)又n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得|cos，n|，整理得2430，解得2.又因为0,1，所以2.所以，线段A1E的长为2.18(本小题满分13分)已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和解：(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)又因为q1，所以a3a22.由a3a1q，得q2.当n2k1(kN*)时，ana2k12k12 ；当n2k(kN*)时，ana2k2k2.所以，an的通项公式为an(2)由(1)得bn，nN*.设bn的前n项和为Sn，则Sn123(n1)n，Sn123(n1)n，上述两式相减，得Sn12，整理，得S
