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1、1,第七章 矩阵理论与方法的应用,第二节 投入产出数学模型,2,在经济活动中分析投入多少财力、物力、 人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高 低的主要标志。投入产出技术正是研究一个 经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的 数学模型，该方法最早由美国著名的经济学 家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前 比较成熟的经济分析方法。,3,一、投入产出数学模型的概念,投入从事一项经济活动的消耗； 产出从事经济活动的结果； 投入产出数学模型通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按
2、计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。,5,投入产出表描述了各经济部门在某个时期 的投入产出情况。它的行表示某部门的产出； 列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用 量， (j=1,2,n)为部门1提供给部门j的使用 量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、 政府使用、出口和社会储备等）为 (j=1,2,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。,6,投入产出的基本平衡关系,从左到右： 中间需求最终需求总产出 (7-9) 从上到下： 中间消耗净产值总投入 (7-10),由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：,(7-11)
3、,(7-12),7,需求平衡方程组：,(7-13),投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：,(7-15),(7-14),8,由(7-11)和(7-14)，可得,(7-16),这表明就整个国民经济来讲，用于非生 产的消费、积累、储备和出口等方面产品的 总价值与整个国民经济净产值的总和相等。,9,二、直接消耗系数,定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部 门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗 系数，记作 。,由定义得,(7-17),把投入产出表中的各个中间需求 换成相应 的 后得到的数表称为直接消耗系数表，并 称n阶矩阵 为直接消耗系数矩阵。,10,例1 已知某经济系统在一个生产周期内
4、投入 产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。,表7.2,11,解 由直接消耗系数的定义 ，得直接 消耗系数矩阵,直接消耗系数 具有下面重 要性质：,性质7.2.1,性质7.2.2,12,由直接消耗系数的定义 ，代入(7-17)，得,(7-18),令 ， (7-18)式可表示为 ，或,(7-19),称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。,13,类似地把 代入平衡方程(7-14)得到,(7-20),写成矩阵形式为,(7-21),其中,14,定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。,如果各部门的最终需求 已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一 解 。,例2 设某工厂有三个车间，在某一个生
5、产周 期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求 如表7.3，求各车间的总产值。,15,表7.3,解,16,即三个车间的总产值分别为400，300，350。,17,定理7.2.2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆 的。,证明 因,由性质7.2.2知， ，故,所以E-D可逆。,18,三、完全消耗系数,直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗， 不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出 如下定义。,定义7.2.2 第j部门生产单位价值量直接和间 接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部 门对第i部门的完全消耗系数，记作 。,19,由 构成的n阶方阵 称为各部门间的 完全消耗系数矩阵。,定理7.2
6、.3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 满足方程,定理7.2.4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有,20,证明 由定理7.2.3知，,将 个等式用矩阵表示为,由定理7.2.1知(E-A)可逆，故,21,例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值 型投入产出表如表7.4，,表7.4,求各部门间的完全消耗系数矩阵。,22,解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中 各列，得到直接消耗系数矩阵为,23,故所求完全消耗系数矩阵为,由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接 消耗系数矩阵的值要大的多。,24,定理7.2.5 如果第j部门最终需求增加 ，而 其他部门的最终需求不变，那
7、么部门总产出 X的增量为,其中,为单位坐标向量。,证明 由定理7.2.4知 ，将此 关系代入方程(7-19)，得,25,由定理假设，部门最终需求增量,于是,26,定理7.2.5表明，由第j部门最终需求的增加 （其他部门的最终需求不变），引起了各部门 总产值的增加。 从数量上表示了各 部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要 完成增加 最终需求的任务就不能实现。,如果定理7.2.5的结论用分量表示,27,特别取 ，则有,上式的经济意义是，当第j部门的最终需求 增加一个单位，而其他部门最终需求不变时， 第i部门总产值的增加量为 ，当第i部门的最终 需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变 时，第
8、i部门总产值的增加量为 。,28,若令,用矩阵表示为,将 代入上式，则,29,例4 利用例1中的数据，求完全消耗系数矩阵B。,解 由例1知直接消耗系数矩阵,于是有,30,最后得完全消耗系数矩阵,31,四、投入产出实现模型的简单应用,投入产出法来源于一个经济系统各部门生 产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时 各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产 品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广 泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析， 还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。,32,编制计划的一种作法是先规定各部门计 划期的总产量，然后计算出各部门的最终需 求；另一种作法是确定计划期各部门的最终
9、 需求，然后再计算出各部门的总产出。后一 种作法符合以社会需求决定社会产品的原则， 同时也有利于调整各部门产品的结构比例， 是一种较合理的作法。,33,例5 给定价值型投入产出表7.5，预先确定 计划期各部门最终需求如表7.6。根据投入产 出表中的数据，算出报告期的直接消耗系数 矩阵A。假定计划期同报告期的直接消耗系数 是相同的，因此把A作为计划期的直接消耗系 数矩阵。再按公式 算出总产 出向量X。,34,表7.5 （单位：万元）,表7.6 （单位：万元）,35,解 通过数值计算得到,36,由 得出总产出向量,37,这样得到各部门在计划期的总产出依次是(万元)：,如果各部都能完成计划期的上述总
10、产出值，那 么就能保证完成各部门最终需求的计划任务。,在求出了各部门总产出 之 后，根据公式 可计算 各部门间应提多少中间需求 。具体数值表如 表7.7。,38,表7.7,39,例6 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电 厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付 0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱 的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元 的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输 费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电 费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定 货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界 对地方铁路没有需求。,40,解 这是一个投入产出分析问题。设x1为本周 内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总 产值, 则,问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身 及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？ 三个企业各创造多少新价值?,41,设产出向量为 ，,外界需求向量为 ，,直接消耗矩阵为 。,42,则原方程为 ，其中E-A为列 昂捷夫矩阵。,投入产出矩阵为,由此解得 。,43,新创造价值向量为,总投入向量为,44,表7.8 投入产出分析表(单位：元),
