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1、第 01 讲导数概念运算和几何意义 基础回顾 1.函数 yf(x)在 xx0处的导数 (1)定义：称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 0 lim x f(x0 x)f(x0) x 0 lim x y x为函数 y f(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0) 0 lim x y x 0 lim x f(x0 x)f(x0) x 。 (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的 切线的斜率.相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0). 2.函数 yf(x)的导函数 如果函数 yf(x
2、)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函 数，函数 f(x)limx0 f(xx)f(x) x 称为函数 yf(x)在开区间内的导函数. 3.导数公式表 基本初等函数导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 f(x)x(Q*)f(x)x 1 f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x)sin x f(x)exf(x)ex f(x)ax(a0)f(x)axln a f(x)ln xf(x)1 x f(x)logax (a0，a1) f(x) 1 xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x)g(x)f(
3、x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) f(x) g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) g(x)2 (g(x)0). 1 5.复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux. 完美题型展现 题型一导数的运算题型一导数的运算 【玩转角度 1】 根据求导法则求函数的导数 例例 1 分别求下列函数的导数： (1)yexln x； (2)ycos x ex ； (3)f(x)ln12x. 【解析】(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xe x x ex ln x1 x . (2)因为
4、y cos x excos xe xcos xex ex2 sin xcos x ex . (3)因为 yln12x1 2ln (12x)， 所以 y1 2 1 12x(12x) 1 12x. 【玩转角度 2】 抽象函数的导数计算 例例 2 (2020天津河西区调研)已知函数 f(x)的导函数是 f(x)， 且满足 f(x)2xf(1)ln 1 x， 则 f(1) () A.eB.2C.2D.e 【解析】 由已知得 f(x)2f(1)1 x， 令 x1 得 f(1)2f(1)1， 解得 f(1)1， 则 f(1)2f(1) 2. 玩 转 秘 籍 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数
5、的和、差、积、商，再利用运算法则 求导. 2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 2 题型特训 1.求下列函数的导数 (1)ycos xsin x； (2)y(x1)(x2)(x3)； (3)y ln x x21. 解：(1)y(cosx)(sin x)sin xcos x. (2)y(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3) x36x211x6，y3x212x11. (3)yln xx 21ln xx21 x212 1 xx 212xln x x212 x 212ln x1 xx212 . 2.(2020南昌模拟
6、)已知函数 f(x)f 4 cos xsin x，则 f 4 的值为_ 解析：因为 f(x)f 4 cos xsin x，所以 f(x)f 4 sin xcos x， 故 f 4 f 4 sin 4 cos 4 ，得 f 4 21. 所以 f 4 ( 21)cos 4 sin 4 1. 答案：1 题型二导数的几何意义题型二导数的几何意义 【玩转角度 1】 导数求切线方程（两类） 例例 3 （1）(2018全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在 点(0，0)处的切线方程为() A.y2xB.yx C.y2xD.yx 解析因为函数 f(x)x3(a
7、1)x2ax 为奇函数， 所以 a10， 则 a1， 所以 f(x)x3x， 所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx. 答案D 3 （2）(2020湖北百所重点高中联考)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲 线 yf(x)相切，则直线 l 的方程为 答案xy10 解析点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x， 直线 l 的方程为 y1(1ln x0)x. 由 y0 x0ln x0， y011ln x0 x0， 解得 x01，y00. 直线 l 的方程为 yx
8、1，即 xy10. 【玩转角度 2】 导数求切点坐标 例例 4(1)(2020聊城月考)已知曲线 yx 2 4 3ln x 的一条切线的斜率为1 2，则切点的横坐标为 () A.3B.2C.1D.1 2 (2)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲线 y1 x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 _. 【解析】(1)设切点的横坐标为 x0(x00)， 曲线 yx 2 4 3ln x 的一条切线的斜率为1 2， yx 2 3 x，即 x0 2 3 x0 1 2， 解得 x03 或 x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为 3. (2)函数 yex的导函数为 yex， 曲线 ye
9、x在点(0，1)处的切线的斜率 k1e01. 设 P(x0，y0)(x00)，函数 y1 x的导函数为 y 1 x2，曲线 y 1 x(x0)在点 P 处的切线的斜 率 k21 x20， 由题意知 k1k21，即 1 1 x201，解得 x201，又 x00，x01. 又点 P 在曲线 y1 x(x0)上，y 01，故点 P 的坐标为(1，1). 【玩转角度 3】 求参数的值或取值范围 4 例例 5 (1)函数 f(x)ln xax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线， 则实数 a 的取值范围是 () A.(，2B.(，2) C.(2，)D.(0，) (2)(2020河南六市联考)已知曲线
10、 f(x)xa xb(x0)在点(1， f(1)处的切线方程为 y2x5， 则 ab_. 【解析】(1)由题意知 f(x)2 在(0，)上有解. f(x)1 xa2 在(0，)上有解，则 a2 1 x. 因为 x0，所以 21 x2，所以 a 的取值范围是(，2). (2)f(x)1a x2，f(1)1a， 又 f(1)1ab，曲线在(1，f(1)处的切线方程为 y(1ab)(1a)(x1)，即 y(1 a)x2ab， 根据题意有 1a2， 2ab5，解得 a1， b7， ab178. 【玩转角度 4】 公切线求法 例例 6 （2016 全国卷）若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，
11、也是曲线 yln(x1)的切 线，则 b_ 解析：直线 ykxb 与曲线 yln x2，yln(x1)均相切，设切点分别为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，由 yln x2 得 y1 x，由 yln(x1)得 y 1 x1，k 1 x1 1 x21， x11 k，x 21 k1，y 1ln k2，y2ln k. 即 A 1 k，ln k2， B 1 k1，ln k，A、B 在直线 ykxb 上， 2ln kk1 kb， ln kk 1 k1b b1ln 2， k2. 答案：1ln 2 5 【玩转角度 5】 与切线有关的距离最值问题 例例 7 已知, x yR，则 2 22 xyx y 的
12、最小值为 解： 构造函数 1 yx， 2 2 y x ，则, x x与 2 , y y 两点分别在 两个函数图象上，故所求看成两点, x x与 2 , y y 之间的距离平 方， 令 22 20802 2 2 yxm xmxmm y x ， 所以2 2yx是与 1 yx平行的 2 2 y x 的切线，故最小距离为2d 所以 2 22 xyx y 的最小值为 4 题型特训 1(2020衡阳模拟)曲线 f(x)x 2a x1 在点(1，f(1)处切线的倾斜角为3 4 ，则实数 a() A1B1 C7D7 解析：选 C.f(x)2x（x1）（x 2a） （x1）2 x 22xa （x1）2， 又f(
13、1)tan3 4 1，a7. 2若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点(0，m)处有公切线，则 ab() A1B0 C1D2 解析：选 C.依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb， 于是有 f(0)g(0)，即asin 020b，b0， 玩 转 秘 籍 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解 出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上. 6 mf(0)g(0)，即 ma1，因此 ab1. 3(2020江西南昌二中月考)已知曲线 f(x)ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为() AeBe C.1 e
14、 D1 e 解析：选 C.解法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x)1 x.设切点 P(x 0，ln x0)，则切线的 斜率 kf(x0)1 x0 ln x0 x0 ，ln x01，x0e，k1 x0 1 e. 解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线 f(x)ln x 及曲线 f(x) ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正， 且小于 1，故选 C. 4(2020江西新余质检)已知 f(x)ln x，g(x)1 2x 2mx7 2(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x) 的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m 的值为() A1B
15、3 C4D2 解析：选 D.f(x)1 x，直线 l 的斜率 kf(1)1.又 f(1)0，直线 l 的方程为 yx 1. g(x)xm，设直线 l 与 g(x)图象的切点为(x0，y0)，则 x0m1， y0 x01， y01 2x 2 0mx07 2（m0） ， m1 2(1m) 2m(1m)7 2，得 m2，故选 D. 5.函数 g(x)ln x 图象上一点 P 到直线 yx 的最短距离为_. 【解析】 设点(x0， ln x0)是曲线 g(x)ln x 的切线中与直线 yx 平行的直线的切点， 因为 g(x) (ln x)1 x，则 1 1 x0，x 01，则切点坐标为(1，0)， 最
16、短距离为(1，0)到直线 yx 的距离， 即为 |10| 11 2 2 . 特训作业 1.下列求导数的运算中错误的是() 7 A.(3x)3xln 3 B.(x2ln x)2xln xx C. cos x xxsin xcos x x2 D.(sin xcos x)cos 2x 【答案】C 【解析】因为 cos x xxsin xcos x x2 ，C 项错误. 2.(2020日照质检)已知 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0等于() A.e2B.eC.ln 2 2 D.ln 2 【答案】B 【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由 f(x0)2，即 ln x012，解得 x0e. 3.(2020南阳一模)函数 f(x)xg(x)的图象在点 x2 处的切线方程是 yx1，则 g(2) g(2)() A.7B.4C.0D.4 【答案】A 【解析】f(x)xg(
