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1、,矩阵分析 Matrix Analysis BIT Spring 2011,Syllabus（教学大纲） Instructor：Jinkui Wan(万金奎) E-Mail: Office Hours: Wednesdays 8:00am-10:00am Text: 矩阵分析史荣昌 魏丰 著（北京理工大学出版社） Prerequisite Course: Linear Algebra and Calculus,Grading: Homework 30% + Final Exam 70% Homework： Every student is required to turn in a well-
2、written homework each week. The homework assignments are due at the beginning of the class on Wednesdays.,Chapter 3: Inner Product Spaces, Normal Matrices and Hermite Matrices Chapter 4: Matrix Factorizations (or Matrix Decompositions) Chapter 5-Chapter 9 concentrate on the analytic aspects of matri
3、ces. Some calculus concepts are involved in this topics.,Chapter 5: Matrix Norms, Matrix Sequences and Series Chapter 6: Matrix functions Chapter 7: Matrices of functions and (In-)homogeneous linear differential equations,Chapter 8: Moore-Penrose (pseudo-)inverse of matrices and least square problem
4、s Chapter 9: Kronecker products,其中,为,维输入变量，,维状态量，,为,矩阵理论的简单应用 偏微分方程，运筹学，控制工程，经济学等等,一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用 线性系统的状态空间性方程为,第一章 线性空间和线性映射,分别为,维输出向量，矩阵,为,型矩阵且均为时间,的函数阵。,定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间性方程为,定义：对于一个线性定常系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统是不可控的。 定理：一个线性定常系统是可控
5、的当且仅当它的可控性判别矩阵 是行满秩的。,由于矩阵,是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。,例 ：设,二 矩阵理论在生物数学中的应用,在花的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列 为Fibonacci级数。它满足递推公式（recursi
6、ve formula）：,以及初始条件： 试求该数列的通项公式，并且求出极限,解：设,因为 ，所以,令,那么我们有,于是我们为了求Fibonacci数列的通项公式只需求出,即可，我们利用 的相似标准形来化简 的计算。,的特征多项式为 ， 它的 两个特征根为：,由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组,可以得到它的一个基础解系：,同理可得,一个基础解系是,令,那么,从而,由递推公式以及初始条件可得,比较上式的第二个分量得,这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容易计算出：,这个数在最优化中有重要的应用，在最优化 中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便 找出最优点，这种方法也常称其为
7、黄金分割法。,1.1-1.2 线性空间及性质,一： 线性空间（vector space）的定义与例子,定义1.1.1 设 是一个非空的集合， 是一个数域， 在集合 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且 这两种运算满足下列八条运算律：,（1） 加法交换律,（2） 加法结合律,（3） 零元素 在 中存在一个元素 ，使得对 于任意的 都有,（4） 负元素 对于 中的任意元素 都存 在一个元素 使得,（5）,（6）,（7）,（8）,称这样的 为数域 上的线性空间。,例 1.1.1 复数域 上的全体 型矩阵构成 的集合 为 上的线性空间。 例 1.
8、1.2 实数域上的n元向量构成的集合 为 上的线性空间。,例 1.1.3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项 式集合 构成实数域 上的线性空间。 思考：实数域 上全体次数等于 的多项 式集合 能构成实数域 上的线性空间吗？,例 1.1.8 全体正的实数 在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：,例 表示实数域 上的全体无限序列组成的 的集合。即 在 中定义加法和数乘： 则 为实数域 上的一个线性空间。,例 在 中满足Cauchy条件的无限序列组成的 子集合也构成 上的线性空间。 这里，Cauchy条件是： 使得对于 都有 例 在 中满足Hilbert条件的无限序列组成的 子集合构成 上的线
9、性空间。 这里，Hilbert条件是：级数 收敛。,例 1.1.4 设 为实数域 上 的 矩阵，则齐 次线性方程组 的所有解的集合, 记为 , 构成实数域 上的一个线性空间。这里， 称 为矩阵 的核空间。 思考：设线性非齐次方程组 有解，那么该方程组的所有解的集合能构成线性空间吗？,二： 线性空间的基本概念及其性质 定义: 向量的线性组合；向量的线性表出；向量的线性相关；向量的线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩 （见定义1.1.2-1.1.3， page 4） 基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关； （3）如果含有向量多的向
10、量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不 唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。,例 1.1.11 中的向量组 是线性无关的。 例 实数域 上函数组 是一组线性无关的函数，其中 为一 组互不相同的实数。 例 实数域 上的函数组 是线性相关的。,三. 线性空间的基底，维数与坐标变换 定义1.2.1 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 使得 中的任意一个向量 都可以由 线性表出 则称 为 的
11、一个基底； 为向量 在基底 下的坐标。此时我们 称 为一个 维线性空间，记为,例 1 实数域 上的线性空间 中向量组 与向量组 都是 的基。 是3维线性空间。 例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组 与向量组 都是 的基。 是4维线性空间。,例 3 实数域 上的线性空间 中的向量组 与向量组 都是 的基底。 的维数为 注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。,例 1.2.2 已知 试求 的核空间的一组基。 解：按照定义， 的核空间即为 的解空间，因此 的
12、基础解系就是核空间的基。对 做初等行变换后得 因此 的一个基础解系为,例 4 在4维线性空间 中，向量组 与向量组 是其两组基，求向量 在这两组基下的 坐标。,解：设向量 在第一组基下的坐标为 ，则 解得 同样可解出在第二组基下的坐标为,由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。 四 基变换与坐标变换 设 （旧的）与 （新的） 是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为,将上式矩阵化可以得到下面的关系式： 称 阶方阵 为由旧基底到新基底的过渡矩阵。那么上式可以写成,定理1.2.1：过渡矩阵 是可逆的。 思考：如何证明该定理？ 任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，那么我们有：
13、 称上式为坐标变换公式。,例 在4维线性空间 中，向量组 与向量组,为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵， 并求向量 在这两组基下的坐标。 解：容易计算出下面的矩阵表达式,向量 第一组基下的坐标为 利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为,例 1.2.6 在 中，求由基 到 的过渡矩阵，其中 并求向量 在 下的坐标。 解：将矩阵 作初等行变换得,因此，基 和 满足下面的等式： 所以由基 到 的过渡矩阵为,设 在 下的坐标为 则 因此 解得（见课本 page 12）。,1.3 线性空间的子空间 定义 1.3.1 设 为数域 上的一个 维线性空间， 为 的一个非空子集合，如果对于任意的 以及
14、任意的 都有 那么我们称 为 的一个子空间。 例 1.3. 1 对于任意一个有限维线性空间 ，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及 线性空间 本身。,例 设 ，那么线性方程组 的全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。 例 设 为 维线性空间 中的 一组向量，那么非空子集合,构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。 性质(见定理1.3.11.3.3)： （1） 的基底即为向量组 的极大线性无关组。 （2） 的维数即为向量组 的秩。 （3）,例 4 实数域 上的线性空间 中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成 的子空间， 问题：这几个子空间的基底与维数分别是什么？ 例 5 矩阵的特征子空间 设 为一个 阶矩阵， 为矩阵 的一个特征值，那么矩阵 的属于特征值 的全部特征向量构成的集合 也是 或者 的一个子空间。,子空间的交与和 定义1.3.3： 设 和 是线性
