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1、高考中的解三角形题分类整理正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用核心提炼1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.规律方法解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用正弦定理求c，再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，
2、再由ABC求C，然后由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.解三角形的实际应用核心提炼解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，这时可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未适量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解规律方法解三角形的实际问题的4个求解步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语、如坡
3、度、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案解三角形的创新交汇问题核心提炼相关题目常将三角恒等变换、正弦定理、余弦定理与三角函数、向量、不等式等相结合进行考查，且3种题型均可能出现规律方法与解三角形有关的交汇问题的求解要点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式【题型汇总】一三角形判断二正余弦定理的灵活应用三三角形面积问题四三角形与向量的综合
4、五三角形的角平分线六多个三角形的解题方法七三角形的中线问题八三角形中的范围问题九三角形实际应用【方法总结】一三角形判断例1.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则的形状一定是（ ）A等边三角形B等腰三角形C等腰三角形或直角三角形D直角三角形【答案】B【解析】试题分析：由得，整理得，为等腰三角形练习1. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理可得，所以，所以是直角三角形.练习2. ABC中, 如果, 那么ABC是（ ）A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【答案】B【解析】由题
5、意得，由正弦定理得，所以，,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.二正余弦定理的灵活应用例2. 如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，在中，因为为三角形的内角，.在中，由正弦定理知.故选：D.练习1. 在中,，在边上,且,则( )ABC5D【答案】D【解析】在中，利用余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），故选D.练习2. 在中，角，所对的边分别为， （1）求证：；（2）若，的外接圆面积为，求的周长【答案】(1)见证明；(2) .【解析】（1），.在中，（2）设的外接圆半径为，由已知得，由得，解得，的周长为.三三角形面积问
6、题例3. 已知为的三个内角的对边，的面积为2，则的最小值为( ).ABCD【答案】D【解析】因为， 所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.练习1. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（1）若，求角B的大小；（2）在（1）的条件下，且，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理知，（2）由余弦定理知，练习2. 在中，、分别为角、所对的边，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理，得，即.所以.从而.因为，所以.又，解得；（2）由（1），得，.由正弦定理，.所以的面积为练习3.在ABC中，角A，B，C
7、所对的边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，ABC的面积为，求边长b的值.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，设，则，带入，化简得，因为，所以；（2）由（1）可知，又，所以，解得.在ABC中，由余弦定理，即，解得.练习4. 在中，角，所对的边分别为，且满足，其中为锐角.（1）求；（2）若，的面积为，求边上的高.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知即，即.为锐角，.（2），故由余弦定理可知：，从而，解得.所以，边上的高为.四三角形与向量的综合例4. 如图所示，在由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设，则（ ）ABCD【答案】
8、D【解析】如图建立直角坐标系，由题意易知，则，不妨设，则，所以，在中，由余弦定理可得，所以解得，则即，所以，所以点即，所以，设，则，解得，所以.故选：D.练习1. 已知中，角所对的边分别是，且.（1）求角；（2），为所在平面内一点，且满足，求的最小值，并求取得最小值时的面积.【答案】（1）.（2）的最小值为，的面积为.【解析】（1），由正弦定理得：，为三角形内角，.又由，得，.（2）由（1）可知.为直角三角形，又，点在以为直径的圆上，如图，设为中点，连结，则当点在上时，取得最小值，此时，.设，则，在直角中，当取得最小值时，的面积为.五三角形的角平分线例5. 如图，在中，则的面积为（ ）ABCD
9、【答案】B【解析】过点分别作和的垂线，垂足分别为，由，得，则为的平分线，又，即，解得;在中，.故选B.练习1. 中，D是BC上的点，AD平分BAC，面积是面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【答案】（1）；（2）1【解析】（1），由正弦定理可知.（2），设，则，在与中，由余弦定理可知，解得，即六多个三角形的解题方法例6. 如图，在中，已知点D在边BC上，且，求BD长；求【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，因为，在中，由余弦定理得，即，得由，得，在中，由正弦定理，得：，练习1. 在平面四边形中，已知，（1）若，求的面积；（2）若，求的长【答案】（1）；（2）.【解
10、析】（1）在中， 即 ,解得.所以.（2）因为,所以 ，, .在中，, . 所以.练习2. 如图，在中，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，得，所以.由正弦定理得，即，得.（2）由正弦定理，在中，在中，又，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面积.七三角形的中线问题例7在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，且边上的中线长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，化简得.由余弦定理得，由可得；（2）设的中点为，由余弦定理得，由可得，即即，所以.又，所以，所以.练习1. 如图，在中，边上的中线长为3，且，.（
11、1）求的值；（2）求及外接圆的面积【答案】(1)；(2)；.【解析】在中，由正弦定理，得；，为BC中点，在中，由余弦定理得：，设外接圆的半径为R，外接圆的面积.练习 2. 已知中，内角所对的边分别为，其中， （1）若，求的值；（2）若边上的中线长为，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】（1）依题意， ，故，所以，所以，即，即，因为，所以，故，可得；（2）记边上的中线为CD，故，所以，结合（1）可知，解得，所以的面积.练习3.在中，角的对边分别为，向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）设的中点为，且，求的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）因为，所以.由正弦定理可得，即.由余弦
12、定理可知.因为，所以.（2）设，则在中，由，可知.由正弦定理及，有，所以，所以，从而，由，可知，所以当，即时，取得最大值.练习4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求B；（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理及已知得，结合，得，因为，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因为，所以，当且仅当时，的面积取得最大值，此时.在中，由余弦定理得.即.八三角形中的范围问题例8. 的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】(1)根据题意，
13、由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是练习1. 如图，在 中，角 的对边分别为 , . （1）求角 的大小；（2）若 为外一点， ，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）在 中，. 有 ， ，则 ，即 ，则 .（2）在 中， ，又 ，则为等腰直角三角形， ，又 ，当 时，四边形 的面积最大值，最大值为练习2. 的内角，的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以.所以，因为，所以，所以，所以.于是.（2）由（1）知，又，根据同角三角函数关系可得，.根
