《高中数学通关系列之“导数与三角交汇30题”》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学通关系列之“导数与三角交汇30题”(42页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学通关系列之“导数与三角交汇”30题1已知函数(1)当时,判断在,上的单调性并加以证明;(2)若,求的取值范围证:(1)当时,在在,上的单调增,证明如下:,设,则,当时,故在,上单调递增,即,所以在,上单调递增;(2)由题意得,令,则,令,则,当时,故在,上单调递增,所以在,上单调递增,当即时,恒成立,单调递增,即单调递增,且所以,在,上单调递增,当时,令,则恒成立,所以在上单调递增,即,又在上单调递增,结合零点判定定理可得,存在唯一的实数,使得,当,单调递减即单调递减,此时在上递减,不合题意,舍去综上,的范围2已知函数(其中为自然对数的底数)(1)证明:对任意的都有;(2)设,若存在,
2、使得不等式成立,求实数的取值范围;求函数的零点个数(1)证明:,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,故当时,函数取得最小值,所以恒成立;(2)解:存在,使得不等式成立等价于,因为,且恒成立,所以,所以即在上单调递减,当时,由知,单调递减,且,所以在时没有零点,当时,由(1),所以即,没有零点;当时,即单调递减,又,所以有一个零点,综上的零点个数为13已知函数(1)求函数的最小值;(2)若函数在上有两个零点,且,求证:解:(1)由于函数为偶函数,要求函数的最小值,只需求,时的最小值即可因为,所以,当时,设,显然单调递增,而,由零点存在定理,存在唯一的,使得,分当,单减,当,单增,而,即,单减
3、,分又当,单增,所以;分(2)只需证,其中,构造函数,即单增,所以,即当时,而,所以,又,即,此时,由第(1)问可知,在,上单增,所以,即证分4已知函数(1)若,恒成立,求正数的取值范围;(2)求证在上有且仅有两个极值点解:(1)令,则,在上恒成立,所以在,上单调递增,且,当时,即单调递增,且,所以,满足题意;当时,所以存在使得,当时,单调递减,此时,不符合,综上可得,证明:(2)令,时,故此时单调递增,从而此时没有极值点,时,故此时单调递增,所以存在使得,此时有一个极值点;时,此时单调递增,且,所以存在使得即,故在上单调递减,在,上单调递增,又,所以存在使得,故在上有一个极大值综上,在上有且
4、仅有两个极值点5已知函数,函数,(1)讨论的单调性;(2)证明:当时,(3)证明:解:(1)函数的定义域,当,时,则在上单调递增;当,时,由可得,此时函数单调递增,令可得,此时函数单调递减,当,时,函数在单调递减,当,时,由可得,此时函数单调递增,令可得,此时函数单调递减,(2)当时,由(1)知,(1),所以,(3)因为,所以,由(2)可得,即,又,即6已知函数,(1)当时,总有,求的最小值(2)对于,中任意恒有,求的取值范围解:(1)令,则,在,上单调递增,且,若,在,上单调递增,即满足条件,若,存在单调递减区间,又所以存在使得与已知条件矛盾,所以,的最小值为1(2)由(1)知,如果,则必有
5、成立令,则,则,若,必有恒成立,故当时,恒成立,下面证明时,不恒成立令,当时,在区间,上单调递增,故,即,故,令,所以在,上单调递增,则一定存在区间(其中,当时,则,故不恒成立综上所述:实数取值范围是,7已知函数是自然对数的底数)(1)求的单调递减区间;(2)若函数,证明在上只有两个零点(参考数据:解:(1),定义域为由得,解得的单调递减区间为(2),当时,;当时,在上单调递增,在上单调递减,又,在上图象大致如右图,使得,且当或,时,;当,时,在和,上单调递减,在,上单调递增,又,由零点存在性定理得,在,和,内各有一个零点,函数在上有两个零点(12分)8已知函数(1)证明:当时,有最小值,无最
6、大值;(2)若在区间上方程恰有一个实数根,求的取值范围,解:(1)时,当,则;当,则;即当,;在时单调递增,存在,使得,则当,单调递减;当,单调递增;故有最小值,无最大值;(2)若在区间上方程恰有一个实数根,则在区间上恰有一实根,则函数与在区间上恰有一交点,因为,令,解之得,或,当,时,;当,时,;则在,上单调递增,在,上单调递减,在,上单调递增,即极大值为,极小值,因为函数与在区间上恰有一交点,9已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)若为的极小值点,求的取值范围解:(1)时,显然当时,当时,因为,故,在上递增,故时,所以的增区间为,减区间为(2),显然,下面研究附近导数的符号,且连续且可导
7、当,即时,必存在区间,使得;在区间上,所以此时是原函数的极大值点;当,即时,必存在区间,使得,在区间上,所以此时是原函数的极小值点;当,即时,此时,存在区间使得;在上在上递减,在上递增所以在上,且只在处,故在区间上,是增函数,故在左侧附近,右侧附近故此时是原函数的极小值点综上,若为的极小值点,的取值范围为10已知函数是自然对数的底数)(1)求的单调递减区间;(2)记,若,试讨论在上的零点个数(参考数据解:(1)的定义域为,由,得,解得,的单调递减区间,(2)由已知得,令,则,时,时,在上单调递增,在,上单调递减,当,即时,使得,当,当,时,在上单调递增,在,单调递减;,又,由零点存在定理得,此
8、时在上仅有一个零点,若时,又,上单调递增,在,上单调递减,又,使得,且当、,时,当,时,在和,上单调递减,在,单调递增,又,由零点存在定理可得,在,和,内各有一个零点,即此时在上有两个零点,综上所述,当时,在上仅有一个零点,当时,在上有两个零点11设函数,是函数的导数(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围解:(1)证明:若,则,则,设,则,且,故函数为奇函数,当时,这时,又函数为奇函数,当时,综上,当时,单调递增,当时,单调递减,又,故在上恒成立,在上没有零点;(2),由,可知,恒成立,若,则恒成立,记,则,故当时,单调递增,又,当时,符合题意;当时,有,与题设矛盾;当
9、时,令,则,又,故在上有无穷多个零点,设最小的零点为,则当时,因此在上单调递增,故当时,故,于是,当时,得,与题设矛盾综上,实数的取值范围为12已知函数,(1)判断函数在区间上的零点的个数;(2)记函数在区间上的两个极值点分别为,求证:解:(1),当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,且,故函数在,上不存在零点,存在,使得,同理使得综上,在区间上的零点有2个,(2),由(1)可得,在区间,上存在零点,所以在,上存在极值点,又因为在上单调递减,则,即,又因为,即,又,即,由在上单调递增可得再由在上单调递减,得,所以13已知函数(1)当时,求的最小值;(2)若,时,求实数的取
10、值范围解:(1),当时,当时,当,时,的极小值为,当时,当时,的最小值为;(2)问题可转化为,设,则,令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,在,先增后减,又,当,即时,单调递减,又,则,不合题意;当,即时,若,则一定存在,使得,在单调递增,在单调递减,则,解得,而,故;若,则在,上单调递增,且,则在,上恒成立,此时,解得;若,则,存在,使得,在 上单调递减,又,时,不合题意综上,实数的取值范围为,14已知函数(1)判断函数在上的单调性;(2)若,求证:当时,解:(1)依题意,令,则,故当时,当时,故,故在上恒成立,故,即函数在上单调递减(2)证明:依题意,下面证明:当时,;当时,;事实上,则
11、,所以在上单调递增,故,则,又,则;令,则由,得的极小值点为,若,则,则,故,若,即,则在上单调递减,故综上所述,当时,;由得:,即,证毕15已知函数()求函数的单调区间;()当时,对任意,证明:【解答】解:函数的定义域,设,则,所以在,上单调递增,所以,所以,所以的单调递增区间,由可知,即,即,因为,所以,知,由知,要证原不等式,知即,设,则,设,则,则,则在,上单调递增,即,故在,上单调递增,故,所以,故16已知函数是的导数(1)当时,令,为的导数,证明:在区间存在唯一的极小值点;(2)已知函数在上单调递减,求的取值范围【解答】解:(1)时,令,则,当时,单调递增,且(1),故在上有唯一的
12、零点,设为,当时,单调递减,当时,单调递增,故在上有唯一的极小值点即在上有唯一的极小值点,(2)设,所以在上单调递增,即,从而,因为在上单调递减,所以在上恒成立,令,则,所以在上单调递减,当时,在上单调递减,符合题意;当时,在上单调递减,且,所以一定存在,当时,即在,上单调递增,与题意不符合,舍去故的范围,17已知函数,是的导函数(1)若,当时,函数在有唯一的极大值,求的取值范围(2)若,试研究的零点个数【解答】解:(1)当时,则在上是减函数,且,当时,恒成立,在上是增函数,无极值;当时,存在使得,且,单增,单减,故为唯一极大值点,符合题意;综上,实数的取值范围为;(2)依题意,可知,时,无零点;故只需研究,时,可知此时单减,又,故存在唯一的,使得;当时,是减函数,且,则存在,则在是增函数,在是减函数,并且,故存在,存在,且在是减函数,在,是增函数,在是减函数,又因为,故存在,使得,存在,使得;综上所述,有3个零点18已知函数,其中(1)求证:当时,无极值点;(2)若函数,是否存在,使得在处取得极小值?并说明理由【解答】(1)证明:,显然,当时,即,函数在其定义域上为增函数,故无极值点;(2)解:,显然是的极小值点的必要条件为,即,此时,显然当时,