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1、高中数学通关系列之“导数与三角交汇”30题1已知函数（1）当时，判断在，上的单调性并加以证明；（2）若，求的取值范围证：（1）当时，在在，上的单调增，证明如下：，设，则，当时，故在，上单调递增，即，所以在，上单调递增；（2）由题意得，令，则，令，则，当时，故在，上单调递增，所以在，上单调递增，当即时，恒成立，单调递增，即单调递增，且所以，在，上单调递增，当时，令，则恒成立，所以在上单调递增，即，又在上单调递增，结合零点判定定理可得，存在唯一的实数，使得，当，单调递减即单调递减，此时在上递减，不合题意，舍去综上，的范围2已知函数（其中为自然对数的底数）（1）证明：对任意的都有；（2）设，若存在，
2、使得不等式成立，求实数的取值范围；求函数的零点个数（1）证明：，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，所以恒成立；（2）解：存在，使得不等式成立等价于，因为，且恒成立，所以，所以即在上单调递减，当时，由知，单调递减，且，所以在时没有零点，当时，由（1），所以即，没有零点；当时，即单调递减，又，所以有一个零点，综上的零点个数为13已知函数（1）求函数的最小值；（2）若函数在上有两个零点，且，求证：解：（1）由于函数为偶函数，要求函数的最小值，只需求，时的最小值即可因为，所以，当时，设，显然单调递增，而，由零点存在定理，存在唯一的，使得，分当，单减，当，单增，而，即，单减
3、，分又当，单增，所以；分（2）只需证，其中，构造函数，即单增，所以，即当时，而，所以，又，即，此时，由第（1）问可知，在，上单增，所以，即证分4已知函数（1）若，恒成立，求正数的取值范围；（2）求证在上有且仅有两个极值点解：（1）令，则，在上恒成立，所以在，上单调递增，且，当时，即单调递增，且，所以，满足题意；当时，所以存在使得，当时，单调递减，此时，不符合，综上可得，证明：（2）令，时，故此时单调递增，从而此时没有极值点，时，故此时单调递增，所以存在使得，此时有一个极值点；时，此时单调递增，且，所以存在使得即，故在上单调递减，在，上单调递增，又，所以存在使得，故在上有一个极大值综上，在上有且
4、仅有两个极值点5已知函数，函数，（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，（3）证明：解：（1）函数的定义域，当，时，则在上单调递增；当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减，当，时，函数在单调递减，当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减，（2）当时，由（1）知，（1），所以，（3）因为，所以，由（2）可得，即，又，即6已知函数，（1）当时，总有，求的最小值（2）对于，中任意恒有，求的取值范围解：（1）令，则，在，上单调递增，且，若，在，上单调递增，即满足条件，若，存在单调递减区间，又所以存在使得与已知条件矛盾，所以，的最小值为1（2）由（1）知，如果，则必有
5、成立令，则，则，若，必有恒成立，故当时，恒成立，下面证明时，不恒成立令，当时，在区间，上单调递增，故，即，故，令，所以在，上单调递增，则一定存在区间（其中，当时，则，故不恒成立综上所述：实数取值范围是，7已知函数是自然对数的底数）（1）求的单调递减区间；（2）若函数，证明在上只有两个零点（参考数据：解：（1），定义域为由得，解得的单调递减区间为（2），当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，又，在上图象大致如右图，使得，且当或，时，；当，时，在和，上单调递减，在，上单调递增，又，由零点存在性定理得，在，和，内各有一个零点，函数在上有两个零点（12分）8已知函数（1）证明：当时，有最小值，无最
6、大值；（2）若在区间上方程恰有一个实数根，求的取值范围，解：（1）时，当，则；当，则；即当，；在时单调递增，存在，使得，则当，单调递减；当，单调递增；故有最小值，无最大值；（2）若在区间上方程恰有一个实数根，则在区间上恰有一实根，则函数与在区间上恰有一交点，因为，令，解之得，或，当，时，；当，时，；则在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，即极大值为，极小值，因为函数与在区间上恰有一交点，9已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若为的极小值点，求的取值范围解：（1）时，显然当时，当时，因为，故，在上递增，故时，所以的增区间为，减区间为（2），显然，下面研究附近导数的符号，且连续且可导
7、当，即时，必存在区间，使得；在区间上，所以此时是原函数的极大值点；当，即时，必存在区间，使得，在区间上，所以此时是原函数的极小值点；当，即时，此时，存在区间使得；在上在上递减，在上递增所以在上，且只在处，故在区间上，是增函数，故在左侧附近，右侧附近故此时是原函数的极小值点综上，若为的极小值点，的取值范围为10已知函数是自然对数的底数）（1）求的单调递减区间；（2）记，若，试讨论在上的零点个数（参考数据解：（1）的定义域为，由，得，解得，的单调递减区间，（2）由已知得，令，则，时，时，在上单调递增，在，上单调递减，当，即时，使得，当，当，时，在上单调递增，在，单调递减；，又，由零点存在定理得，此
8、时在上仅有一个零点，若时，又，上单调递增，在，上单调递减，又，使得，且当、，时，当，时，在和，上单调递减，在，单调递增，又，由零点存在定理可得，在，和，内各有一个零点，即此时在上有两个零点，综上所述，当时，在上仅有一个零点，当时，在上有两个零点11设函数，是函数的导数（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围解：（1）证明：若，则，则，设，则，且，故函数为奇函数，当时，这时，又函数为奇函数，当时，综上，当时，单调递增，当时，单调递减，又，故在上恒成立，在上没有零点；（2），由，可知，恒成立，若，则恒成立，记，则，故当时，单调递增，又，当时，符合题意；当时，有，与题设矛盾；当
9、时，令，则，又，故在上有无穷多个零点，设最小的零点为，则当时，因此在上单调递增，故当时，故，于是，当时，得，与题设矛盾综上，实数的取值范围为12已知函数，（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，求证：解：（1），当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，且，故函数在，上不存在零点，存在，使得，同理使得综上，在区间上的零点有2个，（2），由（1）可得，在区间，上存在零点，所以在，上存在极值点，又因为在上单调递减，则，即，又因为，即，又，即，由在上单调递增可得再由在上单调递减，得，所以13已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若，时，求实数的取
10、值范围解：（1），当时，当时，当，时，的极小值为，当时，当时，的最小值为；（2）问题可转化为，设，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，在，先增后减，又，当，即时，单调递减，又，则，不合题意；当，即时，若，则一定存在，使得，在单调递增，在单调递减，则，解得，而，故；若，则在，上单调递增，且，则在，上恒成立，此时，解得；若，则，存在，使得，在 上单调递减，又，时，不合题意综上，实数的取值范围为，14已知函数（1）判断函数在上的单调性；（2）若，求证：当时，解：（1）依题意，令，则，故当时，当时，故，故在上恒成立，故，即函数在上单调递减（2）证明：依题意，下面证明：当时，；当时，；事实上，则
11、，所以在上单调递增，故，则，又，则；令，则由，得的极小值点为，若，则，则，故，若，即，则在上单调递减，故综上所述，当时，；由得：，即，证毕15已知函数（）求函数的单调区间；（）当时，对任意，证明：【解答】解：函数的定义域，设，则，所以在，上单调递增，所以，所以，所以的单调递增区间，由可知，即，即，因为，所以，知，由知，要证原不等式，知即，设，则，设，则，则，则在，上单调递增，即，故在，上单调递增，故，所以，故16已知函数是的导数（1）当时，令，为的导数，证明：在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围【解答】解：（1）时，令，则，当时，单调递增，且（1），故在上有唯一的
12、零点，设为，当时，单调递减，当时，单调递增，故在上有唯一的极小值点即在上有唯一的极小值点，（2）设，所以在上单调递增，即，从而，因为在上单调递减，所以在上恒成立，令，则，所以在上单调递减，当时，在上单调递减，符合题意；当时，在上单调递减，且，所以一定存在，当时，即在，上单调递增，与题意不符合，舍去故的范围，17已知函数，是的导函数（1）若，当时，函数在有唯一的极大值，求的取值范围（2）若，试研究的零点个数【解答】解：（1）当时，则在上是减函数，且，当时，恒成立，在上是增函数，无极值；当时，存在使得，且，单增，单减，故为唯一极大值点，符合题意；综上，实数的取值范围为；（2）依题意，可知，时，无零点；故只需研究，时，可知此时单减，又，故存在唯一的，使得；当时，是减函数，且，则存在，则在是增函数，在是减函数，并且，故存在，存在，且在是减函数，在，是增函数，在是减函数，又因为，故存在，使得，存在，使得；综上所述，有3个零点18已知函数，其中（1）求证：当时，无极值点；（2）若函数，是否存在，使得在处取得极小值？并说明理由【解答】（1）证明：，显然，当时，即，函数在其定义域上为增函数，故无极值点；（2）解：，显然是的极小值点的必要条件为，即，此时，显然当时，
