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1、定义法求轨迹,数学组 李昌源,教学目标：理解轨迹的概念及圆锥曲线的定义,掌握定义法求轨迹的基本方法，能够运用转化的思想方法解题。 重点难点：如何运用几何性质把动点轨迹转化到圆锥曲线定义，进而求出轨迹方程。,课前练习:1已知ABC的一边BC的长6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。（P75、15）2点M与点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。(p102.14) 3等腰三角形的顶点A（4，2），底边一个端点是B（3，5），求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么。（P71、14）,1.解：以直线BC为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，得点 A的轨
2、迹方程为 （除去椭圆与直线BC的两个交点（5，0）。,2.解：由题意可知，点M到点F（4，0）的距离等 于它到直线x=4的距离，所以点M的轨迹方程 为y2=16x。 3.解：由题意可知，|CA| = |BA| = ， 所以点C的轨迹是以A（4，2）为圆心， 为半径的圆，但除去两点（3，5），（5，1）， 其方程为(x4)2 + (y2)2 = 10。,【例1】设圆C：(x2)2 +y2 = 4, 过原点O作圆的任意弦，求所作弦中点的轨迹方程。,解：方法一：（相关点法） 设Q(x1,y1)为圆C上任意一点,点P(x,y)为弦OQ的中点, 则 又点Q在圆C：(x2)2 +y2 = 4,(x12)2
3、 +y12 = 4, (2x2)2 +(2y)2 = 4,即(x 1 )2 +y2 = 1 (x0).,方法二：设OC中点为M,连结CP,则 CPOQ，|MP| = |OC| = 1 点P的轨迹是以M为圆心,OC为直径的圆,得弦中点的轨迹方程是(x 1 )2 +y2 = 1 (x0)。 方法三：OPC = 900 动点P的轨迹是以OC为直径的圆， 其轨迹方程是(x 1 )2 +y2 = 1 (x0)。,【例 2】 已知圆O的方程为x2 + y2 = 100 , 点A的坐标为( 6，0) , M为圆O上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM于点 P, 则P的轨迹方程为( ) A. B. C. D.
4、,解：连结AP， 点M在圆O上， |OM| = 10 ， P为AM垂直平分线上一点， |AP| = |MP| ， |OP| + |AP| = |OP| +|PM| = |OM| = 10 |OA| P点轨迹是以A，O为焦点， 长轴长为10的椭圆， 椭圆中心（3，0），a=5， c=3，b=4， 椭圆方程是 , 所以选C 。,变式1：已知F1，F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点作F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P, 则P的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线,解：如图,连OP,设F2P交F1Q的延长线于A, 因为PQ为 的平分线，PQ AF2 所以
5、|AQ|=|QF2|, 则P为线段AF2的中点,则OP为 的中位线,所以|OP|= |AF1| = |F1Q|+|QA| = |F1Q|+|QF2 |=a ,所以P点轨迹是以O为圆心,为半径的圆.,F1,F2,Q,O,P,A,x,y,信息1:|AQ|=|QF2|, 信息2:|F1Q|+|QA| =|F1Q|+|QF2 | =2a,【例3】 已知定圆M：x2 + (y+4)2 = 100，定点F（0，4），动圆P过定点F并与圆M内切，求P点的轨迹方程。,解：设动圆半径为R，连结PF， 动圆与圆M内切， |PM| =|MQ| |PQ|， 又动圆过F点， |PF| = |PQ| = R， |PM|
6、= |MQ| |PF| = 10 |PF| ， |PF| + |PM| = 10 |MF| P点轨迹是以F，M为焦点， 长轴长为10的椭圆， 椭圆方程是 。,变式2：已知定直线l : x=2 与定圆A：(x4)2 + y2 = 4，动圆H与直线相切，与定圆A相外切，求动圆圆心H的轨迹方程。,解:由题意可知，点M到点F（4，0） 的距离等于它到直线x=4的距离， 所以点M的轨迹方程为y2=16x。,巩固练习： 1. 已知定点F（4，0）和定直线l: x = 4 ，动点P在l 上，直线l1 过P且与直线l 垂直，直线l2垂直平分线段PF，又直线l1与l2交于M, 则点M的轨迹方程是_. 2已知椭圆的焦点是F1 ,F2 , P是椭圆上的一个动点. 如果延长F1P到Q, 使得 | PQ | = | PF2 | , 那么动点Q的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 3已知平行四边形ABCD，A（0，2），B（0，2），边AD的长度为2，对角线AC和BD 交于E点，求点E的轨迹方程。,y2=16x,A,略解:连结OE, 则|OE|= |AD|= 1 所以点E的轨迹方程是x2+y2=1 (x0)。,小结：,本节课我们学习了定义法求轨迹的基本方法，在应用过程中，应抓住几何特征,巧妙转化，充分利用圆锥曲线的定义，使解题直观简捷。,谢谢大家！ 再 见！,
