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1、2020/8/11,光学信息处理,1,第一章,傅里叶光学基础,2020/8/11,光学信息处理,2,第一章 傅里叶光学基础,11 二维傅里叶分析 12 空间带宽积和测不准关系式 13 平面波的角谱和角谱的衍射 14 透镜系统的傅里叶变换性质,2020/8/11,光学信息处理,3,1.1 二维傅里叶分析,1.1.1 定义及存在条件 复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为 G(u,v) = F g(x,y) = - g(x,y)exp-i2(ux+vy)dxdy (1) 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。(1)式的逆变换为 g(x,y) = F -1G(u,v) = -
2、 G(u,v)expi2(ux+vy)dudv (2),2020/8/11,光学信息处理,5,1.1.2 函数的傅里叶变换,由函数的定义容易得到 (x-xo , y-yo) exp -i2(uxo+ vyo) (3) 当 xo=0，yo= 0 时得到 (x, y) 1 (4) 上式的物理意义表示点源函数具有权重为 l 的最丰富的频谱分量因此光学中常用点光源来检测系统的响应特性，即脉冲响应(3)式还可表为, (x-xo,y-yo)=- exp-i2u(x-xo)+v(y-yo)dudv 它正是函数的积分表达式 根据函数的偏导数的定义 - (n)(x)g(x)dx = (-1)n g(n)(0)
3、(6) 得到(k, l)(x,y)的傅里叶变换 (k, l)(x,y) = k+l(x, y)/ xk yl ) (i2u)k (i2v)l (7),2020/8/11,光学信息处理,6,1.1.3 傅里叶变换的基本性质,(1) 线性 ( linearity ) Ag(x,y) + Bh(x,y) AG(u,v) + BH(u,v) (8) (2) 缩放及反演(scaling and inversion) g(ax,by) G(u/a, v/b)/|ab| (9) 上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩. 特别是当 a = b = -1 时，得到反演的变换性质： g(-x, -y) G(-
4、u, -v) (10) (3) 位移(shift) g(x+xo, y+yo) expi2(uxo+vyo)G(u,v) (11) 上式表示原函数的位移引起变换函数的相移. (4) 共扼(conjugation) g*(x, y) G*(-u, -v) (12),2020/8/11,光学信息处理,7,(5) 卷积 (convo1ution) g(x,y)和h(x,y)的卷积定义： g(x,y)h(x,y) = - g(, )h(x-,y-)dd 易证明: g(x,y) h(x,y) G(u,v) H(u,v) 函数的卷积有特殊的性质： g(x) (x-xo) = g(x-xo) (15) g(
5、x,y) (k, l)(x,y) = g (k, l)(x,y) (16) (6)导数的变换公式可由(7)式导出 g(k, l)(x,y) (i2u)k (i2v)l G(u,v) (17),2020/8/11,光学信息处理,8,(7) 相关(correlation) 函数g(x,y)和h(x,y) 的相关定义为 g(x,y) h(x,y) = - g(, )h(x+,y+)dd 当g = h 时成为自相关，有 g(x,y) g(x,y) = - g(, )g(x+,y+)dd 相关的变换可以利用卷积的变换公式导出： g(x,y) h(x,y) = g*(-x, -y) h(x,y) G*(u
6、,v) H(u,v) g(x,y) g(x,y) G(u,v)2 (21) 自相关与功率谱构成傅里叶变换,2020/8/11,光学信息处理,9,(8) 矩 (moment) g(x,y)的(k,l )阶矩定义为 M k, l = - g(x,y)xk yl dxdy (22) 将逆变换表达式(2)代入上式，得到 M k, l=-G(u,v)dudv-xkylexpi2(ux+vy)dxdy 由函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分 -xkylexpi2(ux+vy)dxdy = (i2)-k-l (k, l)(u,v) 矩的表达式 M k, l = (-i2)-k-l G (k,l) (0
7、,0),2020/8/11,光学信息处理,10,(9) Parseval 定理 g(x,y) h(x,y) G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为 - g(, )h(x+,y+)dd = - G*(u,v)H(u,v)exp i2(ux+vy)dudv 令x = y = 0，上式为 -g(, )h(,)dd = -G*(u,v)H(u,v)dudv 这一关系式称为 Parseval 定理 当h =g 时，上式化为 -g(, )2 dd = - G(u,v)2 dudv 该式又称完备关系式，实际上是能量守恒定律在空域和频域中表达式一致性的表现,2020/8/11,光学信息处理,11,
8、1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,1、rect(x)，(x)及sinc(x)函数定义 (1) rect(x)函数 rect(x) = 1 ， | x | rect(x) = 0 ，其他 (2) (x)函数 (x) = 1- | x | ， | x | 1 (x) = 0， 其他 (3) sinc(x)函数 sinc(x) = (sin x)/ x,-,1,1,-1,2020/8/11,光学信息处理,12,1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,rect(x)，(x)及sinc(x)函数傅里叶变换： 傅里叶变换分别为 rect(x) sinc(u) sinc(x) rect(u) (x) sinc
9、2(u),2020/8/11,光学信息处理,13,1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,2、符号函数sgn(x)和阶跃函数step(x) 符号函数sgn(x)定义 sgn(x)= 1， x 0 sgn(x)= 0， x = 0 sgn(x)= -1，x 0 step(x) =0 ， x 0,o,o,2020/8/11,光学信息处理,14,1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,sgn(x)函数和step(x)函数傅里叶变换 傅里叶变换为 sgn(x) 1 / (iu) step(x) = sgn(x)/2+1/2 1/(i 2u) + (u)/2 利用step(x)的变换式及卷积定理，可求出积分x-
10、 g( )d 的变换： x- g( )d = - g() step (x-)d = g(x) step (x) G(u)1/i 2u + (u)/2,2020/8/11,光学信息处理,15,1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,3、周期函数 设函数g(x)可展开为傅里叶级数 g(x) = -Cnexp(i2nfox) (38) 式中Cn =(1/X) X/2-X/2 g(x)exp(-i2nfox)dx 周期X=1/fo对(38)式两边取傅氏变换得 G(u) = - Cn (u - n fo) (40) 推导中用到积分变换式： (u - n fo) exp(i2nfox) ,2020/8/11,
11、光学信息处理,16,1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,g(x) = -Cnexp(i2nfox) G(u) = - Cn (u - n fo) (40) 4、函数comb(x) comb(x) = -(x - n) = -exp(i2nx) (42)(周期函数的傅立叶级数表达式) 系数Cn =1因此由(40)式可得 comb(x) comb(u) (43),2020/8/11,光学信息处理,17,1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,4、函数comb(x) 设X为实数常数，则有 (1/X)g(x) comb(x/X) = (1/X) - g() comb(x -)/Xd = (1/X) - g
12、() -(x- )/X - n d = - - gX(/X)x/X-/X-nd(/X) = -g X(x/X-n = -g(x - nX) (44) 结果得到了以nX (n = 0，1， 2，)为中心的一系列重复出现的波形g(x - nX) ，这一现象称为“复现”,2020/8/11,光学信息处理,18,1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换,4、函数comb(x) gs(x)= g(x) comb(x/X) = g(x) -(x/X - n) = - g(nX) (x - nX) gs称 g 的抽样函数，X为抽样间隙，xn=nX称样点，g(xn)称样值所以g(x)的抽样函数gs(x)是以样值为权
13、重的 函数序列,2020/8/11,光学信息处理,19,1.1.5 功率谱与空间自相关函数,由Parseval 定理 -g(x, y)2 dxdy = - G(u,v)2 dudv g(x,y)为光场的复振幅分布， g(x, y)2代表光强分布， G(u,v)2 则表示单位频率间隔的光能量，称为功率谱，用s(u,v)表示为 s(u,v) = G(u,v)2 (46) 根据变换定理，我们得到 g(x,y) g(x,y) G(u,v)2 = s(u,v) (47),2020/8/11,光学信息处理,20,1.1.5 功率谱与空间自相关函数,g(x,y) g(x,y) G(u,v)2 = s(u,v
14、) (47) g g 在光学上称为空间自相关函数上式表示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换 空间自相关函数表征空间相距为(x,y)的两点之间场的相似性或关联性，它是场的空间相干性的度量。场的相干性较高时，功率谱的弥散就较小，表示光功率在频域内集中在很小的区域中(可称为准单色光)；反之当场的相干性较差时，功率谱的弥散就较大，表示光功率在频域中分布在较大的区域内，包含较宽的波段。,2020/8/11,光学信息处理,21,1.2 空间带宽积和测不准关系式,1.2.1 空间带宽积与自由度 如果信号g 在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为“带限函数”。 1、Whittaker-Shannon抽样定
15、律： 带限函数g(x,y)被它的抽样值的无穷集合 g mn = g( m/u, n/v) 完全确定，式中 u ， v 是频带的宽度，m, n = 0, l , 2, 。,2020/8/11,光学信息处理,22,2、空间带宽积与自由度 傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们： 频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零,1.2.1 空间带宽积与自由度,2020/8/11,光学信息处理,23,1.2.1 空间带宽积与自由度,2、自由度 实际信号测量系统的输入平面总是有限制
16、的，设信号被限制在 r -x/2 , x/2 , -y/2, y/2矩形区域内，又设系统的带宽u， v 与抽样间隙X，Y满足倒数的关系，则在 r 内共有抽样点N 个， N = x y/XY= xyuv = SW (1) 式中S = x y, W = uv 。 SW称空间带宽积，是评价系统性能的重要参数，(1)式指出通过系统的样点数等于空间带宽积,2020/8/11,光学信息处理,24,因为一个在频域中非无限扩展的信号(带限信号)，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。 例如信号分布在矩形 r 内，那么这个信号就被它的N个样值基本
