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1、第九讲 数学高考的创新试题解题指导第一节 需要抽象概括的创新试题高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.题型一定义新概念【例1】设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、， 、（除数），则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题：整数集是数域；若有理数集，则数集必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号填填上）
2、点拨：本题定义了新的概念：数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选. 此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.解析：对于整数集，当，时，,故错；对于满足的集合，不是数域，错；若是数域，则存在且，依定义，,均是中元素，
3、故中有无数元素，正确；类似数集也是数域，正确，故选，易错点：审题不清，未能理解数域的定义所应满足的条件.变式与引申1.定义若平面点集中的任一个点，总存在正实数，使得集合，称为一个开集给出下列集合：； ； 其中是开集的是 （请写出所有符合条件的序号）题型二定义新数表【例2】全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 * * * * * *根据以上排列规律，数阵中第（）行的从左向右的第3个数是 .点拨：由数阵找到（）行的最后一个数. 数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出
4、其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜.解析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，第行有个数，则第（）行的最后一个数为，则第行的第3个数为.易错点：未能找到新的数阵的规律，解题无从入手.变式与引申2.将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： * * * * * 记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前项和，且满足（）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时，求上表
5、中第行所有项的和题型三定义新数列【例3】若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件点拨： 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换.等比数列，则公比应唯一确定.数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如2010年上海卷的“对称数列”、2009年湖北卷的“等方比数列”、2008年江苏卷的“绝对差数列”、2007的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形
6、式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等.解析：由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即即公比不一定为， 则命题乙不成立，故选B.易错点：是由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C.变式与引申3.对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项
7、均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时， 本节主要考查：数学归纳抽象创新题的求解要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学如函数、数列问题，运用相应的数学知识求解新定义问题的求解通常分三大步骤进行:(1)对新定义进行信息提取，确定化归方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法;(3)对定义中提取知识进行转换，有效地输出.其中对定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是一个难点.点评：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系
8、的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论.抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.平时的数学学习中要切实加强自主探究能力和创新意识的培养，从而不断提高自身的数学素养，增强分析问题和解决问题的综合能力.如可以多订阅报刊杂志，从杂志中涉猎新题.有了新题还得用好新题，通过新题归纳解题的思维方法，激发学生的思维风暴；关注题型的纵横发展，注重多元性，拓展发散思维.另外，还要注意强化数学建模，提高实践能力，发展个性特长.重点抓好运用高中数学知识解决生活中的实
9、际问题的能力的培养与训练，注重数学知识和技能应用的灵活性、综合性、发散性和迁移性.以提高数学阅读能力为起点，建立数学模型为核心，寻找或自行编制一些贴近生活的实际应用题，特别是概率与统计应用题. 习题91图9-1-11(2011高考江西卷 理)如图9-1-1，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )2设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“倍约束函数”.现给出下列函数:; ; ;是定义在实数集R上的奇函数,且对一切,均有.其中是“倍约束函数”的有（
10、） A1个 B2个 C3个 D4个图9-1-23.如图9-1-2，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则_ . 4图9-1-3展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图9-1-3中的图；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图.图中直线与轴交于点，则的象就是，记作.图9-1-3()方程的解是 ;()下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)；是奇函数; 在定义域上单调递增; 的图像关于点 对
11、称第二节 需要构建模式的创新试题高考数学应用题的命题方向,是引导学生自觉地置身于现实生活的大环境中,关心身边的数学问题,了解社会,关心社会,形成健全的人格.题型一 构建指数函数模式的问题【例1】有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为立方米，每天流出湖泊的水量都是立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用表示某一时刻每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式： （），其中是湖水污染的初始质量分数.（）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （）求证：当时，湖泊的污染
12、程度将越来越严重；（）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？点拨：本题结合实际生活中湖泊水质的问题，得到湖水污染指数的函数关系式，通过分析函数的特征，得到污染质量分数的情况.解析：（）为常数， 有， () 我们易证得， 则， .故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.()污染停止即，设经过天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，即，故需要天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.易错点：审题不清，未能理解湖水污染指数的函数关系式中各个参数之间的关系，对于较为复杂解析式没能找到影响函数单调性的参数.变式与
13、引申1.设D和D1是两个平面区域,且.在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A,一艘机艇以40km/h的速度从A港出发,30分钟后因故障而停在湖里.已知机艇出发后，先按东偏北某个方向直线前进,以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变方向,如果去营救,则营救到机艇的概率是 .题型二 构建二次函数模式的问题【例2】一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）A人可在7米内追上汽车 B人可在10米内追上汽车C人追不上汽车,其间距离
14、最近为5米 D人追不上汽车,其间距离最近为7米点拨：本题是一道加速行程问题, 需要运用物理现象建立数学模型，即汽车行程+25=人的行程，建立二次函数关系式解析：若经秒人刚好追上汽车，则，由，得考虑距离差故当时,有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米, 故选D易错点：理解物理运动情境时出现了偏差，未能得到正确的二次函数关系式.变式与引申2. 给出下列一系列化合物的分子式: 、则该系列化合物中,分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近（ ）A 95% B 96% C 97% D98%题型三 构建对勾函数模式的问题【例3】某工厂拟建一座平面图（如图9-2-1所示）为矩形且面积为的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元
