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1、第五讲 功和能,第五讲 功和能 【知识要点】,（一）功 （二）功率 （三）动能 （四）动能定理 （五）势能 （六）机械能守恒定律 （七）功能关系 (八)物体系中的功和能的问题,（一）功,1、做功的两个必要因素 一个力作用在物体上，物体在力的方向上发生了位移，就说此力对物体做了功功是力在其作用空间上的累积，是能量转化的标志和量度 做功的两个必要因素：力和在力的方向上发生的位移 2、公式 WFScos 此公式为恒力做功的计算式，即式中的F必须为恒力，S是相对于地的位移，指的是力与位移间的夹角 功的国际单位：焦耳（J）,3、正功和负功 功是标量，但也有正，负之分功的正负仅表示力在物体运动过程中，是起
2、动力还是起阻力的作用功的正，负取决于力F与位移S的夹角从功的公式可知： 当090时，W为正，表示力F对物体做正功，这时的力是动力 当a=90时，W=0，表示力对物体不做功，这时的力既不是动力，也不是阻力 当90180时，W为负，表示力F对物体做负功，这时的力是阻力,4、总功的计算 总功的计算有两种方法： （1）先求几个力的合力F的大小和方向，再求合力F所做的功，即为总功 WFScos （2）先求作用在物体上的各个力所做的功，再求其代数和 W1F1Scos1 W2F2Scos2 W W1+ W2 （一般情况下采用第二种方法计算总功）,5、变力做功 对于均匀变化的力F，可先求平均力F平均,再利用W
3、=F平均S cos求功; 若力是非均匀变化的，则一般用能量变化的多少来间接地求功,（二）功率:功与完成这些功所用时间的比叫做功率，它是描述力做功快慢的物理量在国际单位制中，功率的单位是焦耳/秒（瓦特）功率有平均功率和即时功率之分,1、平均功率 P平均=W/t , 由W=FScos可知，平均功率可表示为 P平均=Fv平均 cos , 其中v平均为时间t内的平均速度,则为力与平均速度之间的夹角。 2、即时功率 P=Fv cos， 其中v为即时速度，则为力与即时速度方向的夹角 当力与速度方向一致时，=0，cos 0=1, P=Fv 由P=Fv可知，当P一定时，F与v成反比，据此可解释机动车的行驶速度
4、与牵引力之间的关系,（三）动能:物体由于运动而具有的能叫做动能物体的动能在数值上等于它的质量与它的速度平方的乘积的一半动能的国际单位为焦耳,1、定义式,3、动能的变化,动能是标量，也是一个状态量，且恒为正值,2、物体系的动能,（四）一个物体的动能定理,1、内容 外力对物体所做功的代数和等于物体动能的增量，也可表述为：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量 2、表达式,（五）势能:由相互作用的物体的相对位置或由物体内部各部分之间的相对位置所决定的能，叫做势能,1、重力势能 地球上的物体均受到重力的作用，物体具有的与它的高度有关的能，叫重力势能重力势能是物体与地球所共有的 （1）定义式；,式中h物
5、体离零势面的高度，零势面以上h为正，以下为负可见，物体所具有的重力势能与零势面的选选择有关，在计算重力势能时须首先确定零势能面一般取地面或初末位置为零势能参考面物体在零势面之上重力势能为正；物体在零势面之下重力势能为负 （2）重力势能的变化,即重力对物体做功等于物体重力势能增量的负值重力对物体做正功，物体的重力势能减少；重力对物体做负功，物体的重力势能增加 注意，重力对物体做功与物体运动的路径无关，只跟始、末位置有关,2、弹性势能 物体发生弹性形变而具有的能，叫弹性势能弹性形变越大，弹性势能越大 同样，即弹力对物体做功等于弹簧弹性势能增量的负值弹力对物体做功也与路径无关，只跟始、末位置有关 E
6、 p 弹=k x2/2,（六）机械能守恒定律,动能和势能统称为机械能 l、内容 在只有重力或弹力做功的物体系内，动能和势能可以相互转化，但总的机械能保持不变 2、数学表达式,说明：机械能守恒的对象是系统，不是单个物体系统内各物体间的相互作用力叫内力；系统外的物体对系统内的物体的作用力叫外力对于地球和物体组成的系统，重力是内力若以地球为参照系，可以将物体和地球系统的机械能简略称为物体具有的机械能，即 机械能的大小由物体的状态决定，即由物体的位置（高度）和速度决定,（七）功能关系,若系统内除重力和弹力做功外，还有其他力做功，则物体的机械能不守恒其他力做了多少功，将有多少其他形式的能转化为机械能，不
7、同形式的能之间相互转化中，能的总量保持不变做功的过程就是能量从一种形式转化为另一种形式的过程，做了多少功就有多少能量发生转化；反之，转化了多少能量就说明做了多少功做功是能量转化的量度,【疑难讲解】物体系中的功和能的问题,1.物体系 : 研究对象是两个或多个物体简称为物体系. (1)系统的内力与外力,(2)保守力与非保守力 保守力作功与路径无关,只与始末位置有关.如重力,弹力. 非保守力作功与路径有关.如摩擦力,发动机提供的力. (3)一对内力的功 W=fs相 以子弹打木块为例W=-fmsm+fMsM=-fd,2.物体系的动能定理:物体系所有外力与内力的总功等于物体系动能的增量.,考虑到内力又分
8、为保守力与非保守力 ,物体系的动能定理又可以表达为,3.物体系的功能原理:除重力(或弹力)之外的其它力所做的功等于系统机械能的增量。,证明:因为,所以,4.机械能守恒定律:如果系统中只有重力做功(即没有除重力之外的其它力做功)，那么系统的机械能守恒.,证明:因为,W外+W内非保=0 所以,【典型例题】例1,额定功率为80kW的汽车，在水平长直公路上行驶时最大速度可达20m/s,汽车质量为2103kg 。如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度可达2m/s2 。设运动过程中阻力大小不变，试求： （1）汽车运动时所受阻力f； （2）汽车匀加速运动过程可持续的时间t； （3）汽车启动后，发电机在第
9、三秒末的即时功率P3； （4）汽车在做匀加速直线运动过程中，发动机所做的功W,分析：当汽车起动后做匀加速直线运动时，发动机牵引力F为恒力，随着运动速度v的增大，汽车发动机的即时功率P=Fv正比增大，直 就要减小（以保持汽车在额定功率下运行），因此汽车将做加速度越来越小的加速运动，直到发动机牵引力F减小到与汽车运动阻力f相等时，,（2）根据牛顿定律有 F=ma，F-f=ma F=f+ma,动的时间为t，则有,（3）汽车第3秒末仍在做匀加速直线运动，则,（4）根据匀变速运动规律，则有,5秒；第3秒末发动机即时功率为48kW；汽车在匀加速直线运动过程中，,的公式计算，因为在这一阶段汽车发动机的实际功
10、率始终小 于其额定功率，汽车尚未达到“全功率运行”状态 2对于第（4）问，也可用动能定理求解，即,也可用平均功率进行计算，即,因为在汽车起动后做匀加速运动时，发动机实际功率为,例2,质量为m=3kg的物体与水平地面之间的动摩擦因数=0.2，在水平恒力F=9N作用下起动，如图所示。当m位移s1=8m时撤去推力F，试问：还能滑多远？(g取10m/s2),分析：物体m所受重力G、支持力N、推力F、滑动摩擦力f均为恒力，因此物体做匀加速直线运动；撤去F后，物体做匀减速直线运动因此，可用牛顿定律和匀变速直线运动规律求解 物体在动力F和阻力f作用下运动时，G和N不做功，F做正功，f做负功，因此，也可以用动
11、能定理求解,解法一：用牛顿定律和匀变速运动规律，对撤去F推力前、后物体运动的加速度分别为,m在匀加速运动阶段的末速度为,将上两式相加，得,答：撤去动力F后，物体m还能滑4m远,说明：许多动力学问题可以有多种解题方法，对比上述两种解法可以看出运用动能定理的解法比用牛顿定律（以及运动学规律）的解法要简捷一些凡是题目中给出了（或是要求）物体的位移s，这一类题运用动能定理求解总是比较方便的；除非题目中给出了（或是要求）加速度a，才“不得不”运用牛顿定律解题，尤其是对于“从静止开始”运动到“最后停住”这一类的题，运用动能定理特别简单，例如本题就属于这种情况对全程运用动能定理，则有,例3、,如图所示，质量
12、为m的小木块以水平初速v0冲上质量为M，长为L，置于光滑水平面上的木板B，并正好不从B木板上落下，A、B间动摩擦因数为，试求在此过程中系统产生的热量Q,分析 A木块在B木板上滑行的过程中，A和B所受的滑动摩擦力分别为f、f，f=f=mg，A在f的作用下减速，B在f的作用下加速，当A滑到B的右端时，A、B达到一样的速度v，就正好不掉下，设此过程中木板B向前移动的距离为s，滑动摩擦力f对木块A做,解：对A、B分别列出动能定理式：,式-式得,根据动量守恒定律 Mv0=(m+M)v V=mv0/(m+M) 代入上式的 Q=mgL=mMv02/2(m+M) 注意:L是相对位移,说明：系统克服摩擦力做的总
13、功等于系统机械能的减少量这部分机械能就转化为系统内能，这就是“摩擦生热”，由式得出结论：作用于系统的滑动摩擦力和系统内物体间相对滑动的位移的乘积，在数值,本题在中学物理中有典型意义，它是子弹射击木块题型的演变，对它们用动能定理时，画出示意图，区分清楚子弹的位移、木块的位移及子弹对木块的相对位移十分重要,例4一个竖直放置的光滑圆环，半径为R，c、e、b、d分别是其水平直径和竖直直径的端点圆环与一个光滑斜轨相接，如图所示一个小球从与d点高度相等的a点从斜轨上无初速下滑试求： (1)过b点时，对轨道的压力Nb多大？ (2)小球能否过d点，如能，在d点对轨道压力Nd多大？如不能，小球于何处离开圆环？,
14、分析：小球在运动的全过程中，始终只受重力G和轨道的弹力N其中，G是恒力，而N是大小和方向都可以变化的变力但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒 从小球到达圆环最低点b开始，小球就做竖直平面圆周运动小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心O点，此向心力由小球的重力与弹力提供,（2）小球如能沿圆环内壁滑动到d点，表明小球在d点仍在做圆周运动，则,当Nd已经减小到零（表示小球刚能到d点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态)时,度就不可能沿圆环到达d点这就表明小球如能到达d点
15、，其机械能至少应是,因此小球不可能到达d点,定是在c、d之间的某点s离开圆环的设半径Os与竖直方向夹角，,小球从s点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力G,答：小球经过圆环最低点b时，对环的压力为5mg小球到达高度为5R/3的s点开始脱离圆环，做斜上抛运动,将式代入式得 mgcos=2mg（1-cos） cos=2/3,说明：1小球过竖直圆环最高点d的最小速度称为“临界速度”,点就会离开圆环,2小球从s点开始做斜上抛运动，其最大高度低于d点，读者可自行证明,例5,总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭发动机滑
16、行设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？,对末节车厢应用动能定理，有,说明 本题所求距离为两个物体的位移之差，需分别对各个物体应用动能定理求解时也可假设中途脱节时，司机若立即关闭发动机，则列车两部分将停在同一地点现实际上是行驶了距离L后才关闭发动机，此过程中牵引力做的功，可看作用来补续前部分列车多行驶一段距离而,才停止,则两者距离s=s1-s2.对前面部分的列车应用动能定理,有,例6：将细绳绕过两个定滑轮A和B绳的两端各系一个质量为m的砝码。A、B间的中点C挂一质量为M的小球，M2m，A、B间距离为l，开始用手托住M使它们都保持静止，如图所示。放手后M和2个m开始运动。求(1)小球下落的最大位移H是多少？(2)小球的平衡位置距C点距离h是多少？,解
