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1、概率论与数理统计 课程号： 09042000 教师：魏普文 联系方式： 班长联系方式：？,教材：概率论与数理统计 内容：1至4章 参考资料：大学数学学习指南概率论与数理统计 课件下载： http:/58.194.179.4/math/gltj/jxkj/jxkj2.html 作业要求：独立完成,概率统计序言,在我们所生活的世界上， 充满了随机性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着随机性.,概率统计的研究对象,二.概率统计的研究内容,随机现象的统计规律性,随机现象是不是没有规律可言?
2、,否！,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.,从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律. 这种随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.,概率统计的研究内容,三.概率统计的应用,经济管理,保险金融,生物医药,天气预报,下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习，这就是,概率论与数理统计,概率论与数理统计,概率论与数理统计,第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件及其运算,对某事物特征进行观察, 统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,试验前不能预知出现哪种结果,1.
3、随机试验与样本空间,可在相同的条件下重复进行,试验结果不止一个,但能明确所有的结果,样本空间 随机试验E 所有可能的结果,样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为,随机事件 的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.,组成的集合称为样本空间 记为,样本点(或基本事件) 常记为 ， = ,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例1 给出一组随机试验及相应的样本空间,基本事件 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可
4、能发生一个基本事件.,必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件.,复合事件 由若干个基本事件组成的随 机事件.,不可能事件不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.,A,随机事件的关系和运算 类同集合的关系和运算,2.事件的关系和运算,文氏图 ( Venn diagram ), A 包含于B,事件 A 发生必 导致事件 B 发生,A,B,且,1. 事件的包含,2. 事件的相等,事件 A与事件B 至 少有一个发生,发生,的和事件 ,的和事件 , A 与B 的和事件,3. 事件的并(和),事件 A与事件B 同时 发生,发生,的积事件 ,的积事件 , A 与B
5、的积事件,4. 事件的交(积), A 与B 的差事件,5. 事件的差, A 与B 互斥,A、 B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,6. 事件的互斥(互不相容), A 与B 互相对立,每次试验 A、 B中有且只有一个发生,A,称B 为A的对立事件(或逆事件)， 记为,注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念,7. 事件的对立,吸收律,幂等律,差化积,重余律,对应,交换律,结合律,分配律,反演律,运算顺序： 逆交并差，括号优先,例1 在图书馆中随意抽取一本书，,表示数学书，,表示中文书，,表示平装书., 抽取的是精装中文版数学书, 精装书都是中文书, 非数学书都是中文版的，
6、且,中文版的书都是非数学书,则,事件,例2 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系,A ,B ,C 都不发生,A ,B ,C 不都发生,习题一,1.2 随机事件的概率,历史上概率的三次定义, 公理化定义, 统计定义, 古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,1. 频率与概率,则称 为事件 A 发生的 频率,频率的性质,事件 A, B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5
7、016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰投币,皮尔逊投币,概率的统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次试验,中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数,p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小,则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,2. 古典概型,概率的古典定义,例 一颗骰子掷两次，求出现点数之和是8的概率,答案：P(A
8、)=5/36,掷一颗骰子，有6个等可能的结果，掷两次 有66=36个等可能结果，设A 为点数之和是8， 有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3）， （6，2）共5种情形。,例 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，有多大可能排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,解：七个字母的排列总数为7！,关于“有放回”“无放回” 课本p8. 例题1.2.4,例 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取
9、n件,求其中恰有k件次品的概率.,解：令A=恰有k件次品,超几何公式,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（3）恰有 k 个盒子中各有一球.,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),例 （分房模型）,解,例 “分房模型”的应用,解,n 个人的生日均不相同,相当于,本问题中的人可被视为“球”，,365天为365只“盒子”,每个盒子至多有一个球或恰有n 个盒子中各有一球.,某班级有 n (n 365)个人，求n 个人的生日均不相同（设为事件A ) 的概率.,3.几何概型 (古典
10、概型的推广),把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法几何概率.,早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,几何方法的思路是：,1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为(S);,该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.,S,2、向区域S上随机投掷一点，,“随机投掷一点” 的含义是:,3、设事件A是S的某个区域，它的面积为 (A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为,4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的
11、含义如前述，则事件A的概率仍可用,确定，只不过把 理解为长度或体积即可.,几何概率 设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为,例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,例 两船欲停靠同一个码头，设两船到达码 头的时间各不相干，而且到达码头的时间在 一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后 需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待 空出码头的概率.,解 设船1 到达码头的时刻为 x ，0
12、 x 24 船2 到达码头的时刻为 y ，0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,课本p11例题1.2.9蒲丰投针问题,4. 概率的公理化定义,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,设 是随机试验E 的样本空间，若对于E 的每一事件 A ，都有一个实数P ( A )与之对应, 则称之为事件 A 的概率，只要满足下面的三条 公理：,非负性：,规范性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质及公式. 下节课我们会详细介绍概率的一些简单性质.,思考练习,与第二问互为逆事件,23.口袋中a只黑球，b只白球 随机地一只一只摸， 摸后不放回 求第k次摸得黑球的概率,解法1：把球编号，按摸的次序把球排成一列， 样本点总数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! 所考察的事件相当于在第k 位放黑球，共有a种放法， 每种放法又对应其它a+b1个球的(a+b1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为a(a+b1)!。,解法2：只考虑前k个位置：,
