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1、第二章 数理统计的基本知识,1,一、随机样本 二、经验分布与直方图 三、抽样分布,2,引例1 某电视机厂某天生产出了同一型号的显象管10000只，按规定每只使用寿命小于3000小时的算做次品；应怎样推断这批显象管的次品率？,引例2 某钢铁厂生产出了一大批的同一型号的钢筋，应如何确认该批钢筋的平均强度水平以及不同钢筋强度大小的差异离散程度？,应如何解决此类问题呢？,1 随 机 样 本,1、总体，个体,3,在统计学中，常把所研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每个元素叫做个体。,在实际中，我们关心的常是研究对象的某个数量指标X，（如例1中显象管的寿命，例2中钢筋的强度），而这种指标X是可以看作一
2、个随机变量的，因此,总体是一个随机变量X的所有可能取值的全体。 个体是随机变量X的每一个可能的取值xi。,在数理统计中，我们通常就把随机变量X称为总体；同时，因为在取得具体数据以前，每个xi也可以认为是变量，且是与X有着相同的可能取值的随机变量Xi。故,总体 是一个随机变量X , 其所有可能取值即为我们所要研究的对象（数量指标）的全体。 个体 也是一些随机变量Xi,它们通常与总体有着相同的分布。,5,2、样本,抽样：为了推断总体的性态而从总体中抽取部分个体 的过程。,简单随机抽样：满足条件：抽取的个体是相互独立的随 机变量且都与总体同分布的抽样。,特点：简单随机抽样具有独立性和代表性。,实际应
3、用中的抽样方法可是有很多哟 ！,3、样本,从总体X中随机抽取n个个体X1,X2,Xn所组成的一个个体组（X1,X2,Xn），称为总体X的一个样本，个体的数目n 称为样本容量。,6,由简单随机抽样所得样本(X1,X2,Xn)称为简单随机样本。,通过试验对样本(X1,X2,Xn)进行观测，得到的n个确定的实验数据(x1,x2,xn)，称为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，简称 样本值， 也称为样本的一次实现。,简单随机样本（X1,X2,Xn）中诸Xi 是独立同分布的！,数理统计学中的样本，通常都假定是简单随机样本！,7,用以下方法获得的样本均(或近似)为简单随机样本 对于无限总体，在相同条件下
4、进行不重复抽样 对于有限总体，采用有放回抽样。 对于有限总体，当样本容量与总体容量之比不超过0.1时，采用不放回抽样（近似）。,例如: 从10000只显象管中随机抽取25只观察其寿命，这25只的寿命（X1,X2,X25）就是一个容量为25的简单随机样本；,若进行一次试验，测得x1=3200，x2=2850，x25 =3150，则n维数组（3200,2850,3150）就是样本（X1,X2,X25）的一个观察值。,思考1：,相当于一个25维随机变量的一个取值。,如何获得一个简单随机样本？,8,思考2：,若已知总体X的分布，如何写出样本 (X1, X2, Xn)的分布？,样本 X1, X2, Xn
5、 是n个独立同分布的随机变量，因此,若总体X的分布函数为F (x), 则（X1, X2, Xn）的分布函数为,若总体X的密度函数为f (x), 则（X1, X2, Xn）的密度函数为,若总体X的分布律为PX=xi, 则（X1, X2, Xn）的分布律为,9,X的分布律,可以写成,样本 (X1, X2, Xn)的分布律,析：,3、统计量,10,如：,纯粹由样本而构成（不含其它未知参数）的函数 g(X1,X2,Xn）称为统计量。,注：统计量通常也是随机变量。,，,设总体X服从正态分布，已知，未知2，X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,为样本X1,X2,Xn的统计量,不是该样本的统计量,2、几种
6、基本的统计量,11,设（X1,X2,Xn）为总体X的样本，,样本均值,样本方差,样本标准差,样本k阶(原点)矩,样本k阶中心矩,注 1) 以上统计量又称为样本的数字特征;另外在不混淆的情况下,对于总体X的期望E(X)和方差D(X)也分别称为均值和方差,分别记为,2.,2)样本方差 S2 稍不同于样本的2阶中心矩M2。,3),称为样本的偏差平方和,12,性质:设总体X的期望为，方差为2，则,与 相互独立.,2 经验分布与直方图,一、经验分布函数,设有总体 X，,样本 (X1, X2, Xn),理论分布,- 总体X的分布.,经验分布,- 依据样本数据对总体的分布做出的一种直接推断.,13,定义,设
7、总体X的 n个独立观测值为x1,x2,xn, 将它们从小到大排序后为x1*,x2 *,xn *,令,称Fn(x)为总体X 的经验分布函数.,（也称为样本分布函数）, 单调不减；, 处处右连续.,注：对于不同的样本，得到的 Fn(x) 通常是不同的！,14, 格利文科定理 （1933年）,当样本容量n充分大时，Fn(x) 以概率1关于x 均匀收敛F(x) ；,意义：,当n足够大时，Fn(x)与F (x)相差最大处也会足够地小！,因此， Fn(x)可以作为F(x)的一个很好的估计。,二、频率直方图,自学,作业：P34 1 3 4,15,1、2分布,称Y服从参数为n的2 分布，记为 Y 2(n).,
8、定义：若随机变量Y的概率密度函数为,（其中参数n也称为2分布的自由度。）,n大,性质：,3抽样分布,16,上分位点,则称点t 为2(n)分布的上分位点,记为2 (n)。,当n45时，可查表；,其中Z 是 N(0,1) 的上分位点。,对于给定的正数(01),若存在点t 使得,当n 45时，有近似公式：,特性：, E(Y)=n, D(Y)=2n ;, 可加性：若Y1 2(n1)， Y2 2(n2)，且Y1 ，Y2相互独立，则 Y1+ Y2 2(n1+n2),对于给定的， 如何求2 (n)？,17,2、t 分布,定义：若随机变量T的概率密度函数为,T服从自由度为n的 t 分布（俗称学生分布）， 记为
9、 Tt（n）,特点： 当n时，t(n) N(0,1),性质：,上分位点t(n),18,注意： t 1- （n）= - t （n）,n45时，可查表求得； n 45时, t（n） z,双侧分位点,即：对于给定的正数(0u = 的点u.,(相当于：使得 PT t = /2 的点t .),求t0.5/2（n） ，也就是求t0.25（n）,注：正态分布、 2分布等也都有双侧分位点,19,3、F分布,定义：若随机变量F 的概率密度函数为,F 服从自由度为(n1，n2)的F-分布， 记为 F F (n1，n2)。,性质：,20,上分位点F(n1,n2),求得。,对表中没有列出的值， 可由F分布的性质公式,有“分布表”,F（n1，n2）,F1-（n1，n2）,4、 设总体 XN(，2), (X1,X2，Xn)为样本, 则,21,22,若两个总体X与Y相互独立,且XN(1,12),Y N(2,22), (X1 ,X2,Xn1), (Y1 ,Y2,Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则,1 当12= 22时,2 一般情况时有,以及,23,说明：以上结论除了常常作为统计方法中的依据之外，还可以与我们在概率论中学的一些性质结合起来，推导出另外一些有关统计量的分布的性质。,析：,
