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1、导数的运算,一、复习目标,掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则, 了解复合函数的求导法则, 会求某些函数的导数.,二、重点解析,在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时, 要熟记常见函数的导数公式及运算法则.,对复合函数的求导, 要搞清复合关系, 选好中间变量, 分清每次是对哪个变量求导, 最终要把中间变量换成自变量的函数.,三、知识要点,1.函数的和、差、积、商的导数:,(uv)=uv;,(uv)=uv+uv;,(cu)=cu(c 为常数);,2.复合函数的导数,设函数 u=(x) 在点 x 处有导数 ux=(x), 函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 yu=f
2、(u), 则复合函数 y=f(x) 在点 x 处有导数, 且,yx=yu ux.,或写作 fx(x)=f(u)(x).,即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数.,典型例题 1,解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2),=4x(3x-2)+(2x2+3)3,求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx;,(2)y=(x2sinx)+(2cosx),=18x2-8x+9.,法2 y=(6x3-4x2+9x-6),=18x2-8x+9.,=(x2)sinx+x2(sinx)
3、+2(cosx),=2xsinx+x2cosx-2sinx.,典型例题 1,求下列函数的导数:,典型例题 2,已知 f(x) 的导数 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a2, 求不等式 f(x)0 的解集.,解: f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.,f(0)=2a,b=2a.,f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a,=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a),=(x-a)(x2-x-2),=(x+1)(x-2)(x-a),令 (x+1)(x-2)(x-a)0, 由于 a2, 则,当
4、 a=2 时, 不等式 f(x)0 的解集为(-, -1);,当 a2 时, 不等式 f(x)0 的解集为(-, -1)(2, a).,典型例题 3,设曲线 y=e-x(x0) 在点 M(t, e-t) 处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t). (1)求切线 l 的方程; (2)求 S(t) 的最大值.,解: (1)y=(e-x)=-e-x,切线 l 的斜率为 -e-t,切线 l 的方程为 y-e-t=-e-t(x-t),即 e-tx+y-e-t(t+1)=0.,(2)令 y=0, 得 x=t+1; 令 x=0, 得 y=e-t(t+1).,令 S(t)0, 得 0t1
5、.,S(t) 在 0, 1) 上为增函数, 在 (1, +) 上为减函数.,S(t)max=S(1),典型例题 4,求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程.,解: 由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x,设切点为 P(x0, y0), 则,y | x=x0=3x02+6x0,曲线在点 P 处的切线方程为,y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).,又切线过点 M(1, -1),-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即 y0=3x03+3x02-6x0-1.,而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5,x03+3x02-5=3
6、x03+3x02-6x0-1.,整理得 x03-3x0+2=0.,解得 x0=1 或 x0=2.,切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1).,故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.,典型例题 5,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的单调性.,解: (1)f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.
7、,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),4b+c=0.,又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,F(x)=2x3+4x2-8x-16.,综上所述, 实数 a, b, c 的值分别为 -8, 4, -16.,223+2a=0.,f(2)=622-8=16.,(2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.,F(x)=6x2+8x-8.,F(x) 的单调区间为: (-, -2)、,典型例题 6,(2)证: 依题意, 在切线 l 的方程中令 y=0, 得,x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),
8、ax12,2-ax10.,又 x10,x2=x1(2-ax1)0.,x2=x1(2-ax1)x1.,课后练习 1,y=-2(1-x)-2(1-x),(3)y=(sinx)cosx=ecosxlnsinx,y=(ecosxlnsinx),=ecosxlnsinx(cosxlnsinx),=(sinx)cosx-sinxlnsinx+cosx(lnsinx),=(sinx)cosxsinx(cot2x-lnsinx),=(sinx)1+cosx(cot2x-lnsinx),课后练习 2,(1)求 y=(x2-3x+2)sinx 的导数.,解: (1)y=(x2-3x+2)sinx+(x2-3x+2
9、)(sinx),=(2x-3)sinx+(x2-3x+2)cosx,解: 由已知 f(x)=aex+bln(2+x),=(aex)+bln(2+x),课后练习 3,f(x)=ex.,解得 a=1, b=0.,课后练习 4,对于 x0, 2,令 f(x)0 得 0 x1;,令 f(x)0 得 1x2.,f(x) 在 0, 1) 上为增函数, 在 (1, 2 上为减函数.,f(1)f(2).,f(0)=0 为函数 f(x) 在区间 0, 2 上的最小值;,又切线过原点,解得 x0=-3 或 x0=-15.,课后练习 5,过切点的切线的斜率为,当 x0=-3 时, y0=3. 此时切线的斜率为 -1
10、, 切线方程为,x+y=0.,x+25y=0.,课后练习 6,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.,解: f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),4b+c=0.,又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,g(x)=4x2-16.,综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.,课后练习 7,设函数 y=a
11、x3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0, 试确定函数的解析式.,解: 由已知, P 点的坐标为(0, d).,曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0,120-d-4=0.,又切线斜率 k=12,解得: d=-4.,故函数在 x=0 处的导数 y|x=0=12.,而 y=3ax2+2bx+c, y|x=0=c,c=12.,函数在 x=2 处取得极值 0,y|x=2=0 且当 x=2 时, y=0.,解得 a=2, b=-9.,y=2x3-9x2+12x-4.,课后练习 8,(1)
12、解: 由已知 f(x)=3x2.,切线 l 的方程为 y-(x13-a)=3x12(x-x1).,(2)证: 依题意, 在切线方程中令 y=0, 得,0,注: (2)亦可利用导数或基本不等式证明., ; ; orz25msr ; 好想您！”耿英也用力抱住小青，说：“姐姐，你们可好啊！”“直伢子，娘娘也想你们啊！”“妹妹，我们都很好！终于盼到你们回来了！”大家流着眼泪说几句话以后，终于都破涕为笑了。乔氏摸摸耿直的脸，高兴地说：“直伢子啊，你长大了，比你哥哥走得时候还要高一点儿呢！”小青仔细地端详着耿英，说：“妹妹，你看起来比走的时候更加成熟好看了！”耿英转过身来紧紧地拥抱乔氏，说：“娘娘，快八年
13、了啊，我好想您！”乔氏也紧紧地抱着耿英，不断地念叨着：“娘娘也好想你们啊！娘娘也好想你们啊！”一刻，耿英放开手，仔细看看乔氏的脸，替她理理额前的一缕头发，说：“娘娘啊，你，怎么有白头发了！”乔氏笑了，说：“英丫头啊，谁老了没有白头发呢？看到你们都长大了，娘娘就高兴嘞！”耿直也转过身来抱抱小青的双肩，说：“姐姐，我走的时候还是一个小娃儿呢，你能抱住我。现在我长这么大了，你哪里还能够抱得了！就让我来抱抱你吧，我善良漂亮的好姐姐！”小青笑着说：“是啊，姐姐哪里还能抱得了你这个大块头的小弟弟呢！”大家刚高兴地说了几句话，乔氏母女俩人忽然觉得哪里不对，都忙着转头看看周围，又互相看一眼。乔氏狐疑地问耿英：
14、“丫头，你们的爹和哥哥呢？”小青也问：“耿伯伯和耿正呢？”耿英这才想起来哥哥还在门外等着呢，赶快对东伢子说：“东伢子，你去帮我哥把骡车赶进院儿里来吧！”傻乎乎地愣在一旁的东伢子答应着，拔腿就往门外跑去。那个就好像是东伢子小尾巴似的小男娃儿也马上要跟了去，耿英赶快追上去拉住他，说：“你是小东伢啊？别去了，大骡子闹腾，咱们就在院儿里等着吧！”耿直把软皮箱提起来，扶着乔氏说：“娘娘，咱们进屋子说话吧！”耿英明白弟弟的意思，也对小青说：“姐姐，咱们都进屋子说话吧！”乔氏和小青却都站在原地不动。乔氏说：“等等你爹和你哥哥！”小青说：“等等耿伯伯和你哥！”耿直和耿英彻底没辙了，互相望望。耿直说：“姐，这？”耿英说：“那，就等等吧。”耿直想一想，又把软皮箱放下，扶着乔氏站定。耿英攥紧小东伢的手，也扶着小青站在原地等着。门外，东伢子和耿正互相欢呼着紧紧拥抱！放开了又互相捶打一拳：“耿正，你更帅气了！”“东伢子，你好大的劲儿，差点儿让我喘不上气来！”东伢子抬头往周围看看，奇怪地问：“耿伯伯呢？这车棚怎么蒙了红篷布？”耿正说“你先别问了，这车里装了一口寿棺。咱们进去了再细说吧！”东伢子听了猛然一愣。耿正又说“趁着现在附近没有人，咱们快进院儿里吧！一两句话说不清楚的。”于是东伢子不再多问，赶快将院门大敞开。耿正牵了大白骡，东伢子在后面招呼着，大块头的平板车“哐哐啷啷”地进入院儿里来。东,
